当您与单位已经续签了两次固定期限劳动合同，且面临第三次合同不续签的情况时，这确实是一个需要仔细处理的问题。以下是我根据相关法律法规，为您提供的详细分析和建议：
一、判断是否符合签订无固定期限劳动合同的条件
根据《劳动合同法》的相关规定，如果您已经与单位连续订立了二次固定期限劳动合同，并且没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（如严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等），那么在续订劳动合同时，除非您主动提出订立固定期限劳动合同，否则单位应当与您订立无固定期限劳动合同。
二、单位不续签的合法性与责任
若符合签订无固定期限劳动合同条件而单位拒绝：
- 这属于单位的违法行为。您有权要求单位继续履行合同，即签订无固定期限劳动合同。
- 如果单位坚持不续签，您还可以主张赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿金的两倍。经济补偿金按您在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
若不符合签订无固定期限劳动合同条件或您同意不续签：
- 单位则无需承担违法责任，但应按照《劳动合同法》的规定，向您支付经济补偿金。经济补偿金的计算方式同上。
三、处理流程与建议
与单位沟通：
- 首先，建议您与单位进行充分沟通，了解单位不续签的具体原因，并表达您的诉求和期望。
确认自身权益：
- 根据上述分析，确认自己是否符合签订无固定期限劳动合同的条件，以及单位是否应支付赔偿金或经济补偿金。
办理离职手续：
- 如果双方无法达成一致，您应按照合同约定及相关程序办理离职手续，包括结算工资、交接工作等。同时，确保单位支付了应得的经济补偿金或赔偿金。
保留证据：
- 在整个过程中，务必保留好相关证据，如劳动合同、工资单、考勤记录、沟通记录等，以备后续可能出现的劳动纠纷。
维权途径：
- 如果您对单位的处理结果不满，可以通过协商、调解、仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益。在申请仲裁或提起诉讼时，这些证据将起到关键作用。
四、应对可能的劳动纠纷
- 如果单位坚持不续签且拒绝支付赔偿金或经济补偿金，您应积极应对劳动纠纷。可以寻求法律援助或咨询专业律师，了解自己的权益和维权途径。
- 在整个过程中，保持冷静和理性，避免与单位发生不必要的冲突。通过合法途径维护自己的权益，是更为有效和明智的选择。
综上所述，当您面临单位不续签第三次合同的情况时，应首先判断自己是否符合签订无固定期限劳动合同的条件，然后根据实际情况与单位沟通并确认自身权益。如果无法达成一致，应通过合法途径维护自己的合法权益。希望这些建议能对您有所帮助。