结论：公司合同到期同月退休的员工，能否申请经济补偿金需分情况讨论，主要取决于劳动合同终止的原因以及是否符合相关法律法规的规定。
一、劳动合同因期满而终止，且员工同时退休的情况
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条的规定，劳动合同期满的，劳动合同终止。
- 同时，根据该法第四十六条的规定，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同期满终止固定期限劳动合同的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
分析：
- 在员工合同到期且同时退休的情况下，如果劳动合同的终止是因为期满，并且没有证据表明用人单位愿意维持或提高劳动合同条件续订而员工拒绝，那么理论上员工是有权要求经济补偿金的。
- 但是，如果员工退休是因为达到了法定退休年龄，并且开始依法享受基本养老保险待遇，那么根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条第二项的规定，劳动合同也是终止的，且这种情况下通常不涉及经济补偿金的支付，因为退休是员工依法享受的社会保险待遇，与劳动合同的终止是两个独立的事件。不过，若退休与合同到期恰好发生在同一月，且合同终止非因退休而是单纯期满，且符合经济补偿金支付条件，则员工仍可主张。
二、劳动合同因员工退休而终止的情况
法律依据：
- 同样依据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条，劳动者开始依法享受基本养老保险待遇的，劳动合同终止。
分析：
- 如果员工是因为达到法定退休年龄并开始享受基本养老保险待遇而导致劳动合同终止，那么根据法律规定，这种情况下用人单位通常不需要支付经济补偿金。
- 这是因为退休是员工依法享有的权利，且退休后员工将开始享受国家提供的基本养老保险待遇，不再需要依赖劳动合同来保障其生活。
三、特殊情况与建议
- 特殊情况：如果劳动合同中有特别约定，比如约定了合同到期时即使员工退休也需支付一定经济补偿，那么应遵循合同约定。
- 建议：对于具体情况，建议员工先与用人单位进行协商，看是否能够达成一致意见。如果协商不成，员工可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或者直接向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
总结：公司合同到期同月退休的员工能否申请经济补偿金，需根据劳动合同终止的具体原因以及是否符合相关法律法规的规定来判断。如有疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。