退休后在私人单位上班未签合同且工作中受伤，可按以下步骤申请赔偿：

1. 确认劳动关系与用工性质
   尽管未签订书面合同，但根据《劳动合同法》及相关司法解释，若存在事实劳动关系（如工资发放记录、考勤记录、工作证等证据），仍可认定劳动关系。退休人员返聘属于劳务关系（非劳动关系）的特殊情形，但若单位未办理退休手续或未享受养老保险待遇，仍可能被认定为劳动关系，此时可主张工伤赔偿；若已享受养老保险待遇，则按劳务关系处理，主张人身损害赔偿。

2. 分情况申请赔偿

   • 情况一：认定为劳动关系（未享受养老保险待遇）

     1. 申请工伤认定：自受伤之日起1年内，向单位所在地社保部门提交工伤认定申请（需提供劳动关系证明、医疗诊断证明等）。
        
     2. 劳动能力鉴定：伤情稳定后，申请鉴定伤残等级（如构成伤残，可获一次性伤残补助金、医疗补助金等）。
        
     3. 主张赔偿：根据《工伤保险条例》，要求单位支付工伤待遇（如医疗费、停工留薪期工资、伤残津贴等）。若单位未缴工伤保险，由单位全额承担。
        

   • 情况二：认定为劳务关系（已享受养老保险待遇）

     1. 收集证据：证明受伤系因单位过错导致（如未提供安全防护措施、违规指挥等），需提供现场照片、证人证言、医疗记录等。
        
     2. 协商或起诉：直接向单位主张人身损害赔偿（包括医疗费、误工费、护理费、残疾赔偿金等），协商不成可向法院起诉。
        

3. 关键证据清单

   • 劳动关系证明：工资转账记录、考勤表、工作证、同事证言等。
     
   • 受伤证据：现场照片、视频、医疗诊断书、急救记录等。
     
   • 单位过错证据：安全制度缺失证明、违规操作记录等（劳务关系适用）。
     

4. 注意事项

   • 退休人员返聘时，建议要求单位签订书面劳务协议，明确权利义务（如工作内容、报酬、安全责任等），避免纠纷。
     
   • 若单位拒绝赔偿，可向当地劳动监察大队投诉（劳动关系）或直接起诉（劳务关系），注意1年诉讼时效。
     

行动建议：立即收集证据（尤其是劳动关系和受伤证明），根据自身情况选择工伤认定或人身损害赔偿路径，必要时委托律师协助处理。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作细节。