针对您在私人厂上班没有签劳动合同，且在工伤期间被辞退的情况，您依然有权获得相应的工伤补偿。以下是我为您详细梳理的解决步骤和注意事项：

一、确认劳动关系

尽管您没有签订劳动合同，但只要能证明与私人老板存在事实劳动关系，您就有权要求工伤补偿。您可以通过以下证据来证明：

• 工资支付凭证：如工资条、银行工资流水明细等，这些能显示您的收入来源和支付方。
• 工作证、服务证：这些证件能证明您的工作身份和所属单位。
• 考勤记录：如打卡记录、考勤表等，能证明您的工作时间和出勤情况。
• 其他劳动者的证言：如果有其他同事愿意为您作证，他们的书面证明也是有力的证据。

凭借这些证据，您可以向劳动争议仲裁委员会申请确认劳动关系。

二、申请工伤认定

确认劳动关系后，您应尽快申请工伤认定。这是获得工伤补偿的关键步骤。具体流程如下：

• 申请时间：单位应在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。若单位未按规定提出，您或您的近亲属、工会组织可在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起1年内直接提出申请。
• 申请材料：包括工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系的证明材料（即您之前收集的证据）、医疗机构出具的诊断证明或职业病诊断证明书等。

三、劳动能力鉴定（如需要）

如果您的伤情经治疗相对稳定后，仍存在残疾或影响劳动能力，您应向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出劳动能力鉴定申请。鉴定结果将作为计算工伤赔偿数额的重要依据。

四、计算赔偿项目及数额

根据您的伤残等级和当地规定，您可以获得以下赔偿项目：

• 医疗费用：按工伤保险诊疗项目目录、工伤保险药品目录、工伤保险住院服务标准支付。
• 停工留薪期工资：停工期间原工资福利待遇不变，由单位按月支付，一般不超过12个月。
• 护理费：如果生活不能自理，在停工留薪期需要护理的，由所在单位负责；评定伤残等级后需要生活护理的，从工伤保险基金按月支付生活护理费。
• 一次性伤残补助金：根据伤残等级确定，一级伤残为27个月的本人工资，二级伤残为25个月的本人工资，以此类推，十级伤残为7个月的本人工资。
• 一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金：如果您提出解除或终止劳动关系，由工伤保险基金支付一次性工伤医疗补助金，由用人单位支付一次性伤残就业补助金，具体标准由省、自治区、直辖市人民政府规定。

五、赔偿途径

• 协商：首先尝试与私人老板进行协商，要求其按照法律规定支付工伤赔偿费用。
• 劳动仲裁：若协商不成，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁裁决一般会在受理仲裁申请之日起45日内作出，案情复杂可延期至多15日。
• 诉讼：对仲裁结果不满意时，可在收到仲裁裁决书之日起15日内向人民法院提起诉讼。

六、特别注意事项

• 及时行动：工伤认定需在事故发生之日起一年内申请，逾期可能影响您的权益。
• 保留证据：妥善保存所有与工伤和劳动关系相关的证据，如工资条、工作证、考勤记录、医疗诊断证明等。
• 法律咨询：由于工伤赔偿涉及复杂的法律程序和规定，建议您寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分保障。

综上所述，即使未签订劳动合同，只要您能够证明事实劳动关系的存在且受伤属于工伤范畴，您就有权要求单位进行相应的赔偿。在赔偿过程中，请遵循法定程序并积极维护自身权益。