结论：在私人单位上班且未签订劳动合同的情况下被辞退，您是有可能获得补偿的。具体补偿情况需根据实际工作年限、辞退原因等因素综合判断。

详细分析：

1. 未签订劳动合同的法律后果：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果您在私人单位工作超过一个月且未签订劳动合同，您有权要求单位支付双倍工资作为补偿。

2. 被辞退的补偿情况：

   • 合法辞退：如果单位因您存在严重违反规章制度、不能胜任工作且经过培训或调岗后仍不能胜任、客观情况发生重大变化导致合同无法履行且双方未能就变更合同达成协议等合法原因辞退您，那么单位需要按照您在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付经济补偿。工作年限六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
   • 违法辞退：如果单位没有合法理由辞退您，或者辞退程序不合法（如未提前通知、未支付经济补偿等），那么您有权要求单位支付赔偿金。赔偿金的标准是经济补偿的两倍。

3. 未签订劳动合同与辞退补偿的关联：

   • 即使未签订劳动合同，也不影响您因被辞退而获得的补偿权利。未签订劳动合同本身可能构成单位的一个违法行为，您有权因此要求单位支付双倍工资。同时，如果单位辞退您且没有合法理由或程序不合法，您还有权要求单位支付赔偿金或经济补偿。

4. 实际操作建议：

   • 收集证据：首先，您需要收集能够证明您与单位存在劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录等。这些证据将有助于您在后续的法律程序中维护自己的权益。
   • 协商解决：在掌握一定证据后，您可以尝试与单位进行协商，看是否能够达成和解并获得相应的补偿。
   • 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求单位支付双倍工资、经济补偿或赔偿金等。
   • 提起诉讼：如果对劳动仲裁结果不满意，您还可以向法院提起诉讼，通过司法程序来维护自己的合法权益。

示例说明： 假设您在私人单位工作了8个月且未签订劳动合同，后因单位原因被辞退。在这种情况下，您有权要求单位支付7个月的双倍工资（因为第一个月通常不计算双倍工资）作为未签订劳动合同的补偿。同时，由于您被辞退且没有合法理由或程序不合法（假设如此），您还有权要求单位支付1个月工资的经济补偿（因为您工作了8个月，按一年计算支付1个月工资的经济补偿）。如果单位拒绝支付这些补偿，您可以通过劳动仲裁或诉讼等法律途径来维护自己的权益。

后续行动建议： 如果您遇到了类似的情况，建议您先收集相关证据，然后尝试与单位进行协商。如果协商无果，您可以及时咨询我或向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。在处理这类纠纷时，保持冷静和理性是非常重要的，同时也要确保自己的权益得到充分的维护。