结论：值班期间脑干出血住院7天后死亡，是否构成工伤并获得赔偿，需根据具体情况判断，主要看是否符合《工伤保险条例》中关于工伤认定的条件。以下从不同角度进行分析：
一、符合工伤认定条件的情况
工作原因导致：
- 法律依据：根据《工伤保险条例》第十五条，职工在工作时间和工作岗位，突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡的，视同工伤。但此条款强调的是“48小时之内经抢救无效死亡”，而本案例中是住院7天后死亡，从时间上看不符合该条款的直接规定。然而，若能证明脑干出血是由工作原因（如过度劳累、工作压力大等）直接导致的，且该疾病与工作有直接的因果关系，那么仍有可能被认定为工伤。
- 实践操作：在实际操作中，这需要详细的医疗证明和工伤认定机构的调查。医疗证明需明确指出脑干出血的诱因，以及该诱因与工作之间的直接联系。工伤认定机构则会根据这些证据，结合相关法律法规，进行综合判断。
特殊情况下的认定：
- 考虑因素：虽然48小时的时间限制是一个重要标准，但并非绝对。在某些特殊情况下，如职工在工作时间和工作岗位上突发疾病，虽然经过超过48小时的抢救后死亡，但若能证明该疾病与工作有直接且紧密的联系，且职工在发病后一直处于抢救状态，未脱离医疗监护，那么也有可能被认定为工伤。
- 案例参考：类似案例中，有法院在判决时考虑了职工的工作性质、工作环境、工作压力等因素，以及这些因素与疾病之间的因果关系，从而做出了有利于职工的工伤认定。
二、不符合工伤认定条件的情况
非工作原因导致：
- 分析：如果脑干出血并非由工作原因导致，而是由于职工自身的健康状况、遗传因素或其他非工作相关的因素引起的，那么该情况通常不会被认定为工伤。
- 建议：在这种情况下，职工家属可以寻求其他途径的赔偿，如通过医疗保险、商业保险或民事诉讼等方式来维护自身权益。
无法证明与工作有关：
- 分析：即使职工在工作时间和工作岗位上突发疾病，但如果无法提供充分的证据证明该疾病与工作有直接的联系，那么工伤认定机构可能会拒绝认定该情况为工伤。
- 建议：职工或其家属应积极收集相关证据，如医疗记录、工作记录、证人证言等，以证明疾病与工作之间的因果关系。同时，也可以寻求专业律师的帮助，通过法律途径来维护自身权益。
三、后续行动建议
及时申请工伤认定：
- 步骤：职工或其家属应在职工死亡后尽快向当地的社会保险行政部门提出工伤认定申请，并提交相关证据材料。
- 注意：工伤认定申请有一定的时限要求，逾期可能会影响工伤认定的结果。
寻求专业法律帮助：
- 建议：由于工伤认定过程可能涉及复杂的法律问题和证据收集工作，因此建议职工或其家属寻求专业律师的帮助。律师可以提供法律咨询、代理申请工伤认定、参与工伤赔偿谈判等服务，以维护职工或其家属的合法权益。
总结：值班期间脑干出血住院7天后死亡是否构成工伤并获得赔偿，需根据具体情况判断。若能证明疾病与工作有直接且紧密的联系，且符合工伤认定的其他条件，那么有可能被认定为工伤并获得相应的赔偿。若不符合工伤认定条件，则职工或其家属可以寻求其他途径的赔偿。在处理此类问题时，建议及时申请工伤认定并寻求专业法律帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。