针对您在饭店上班没有签劳动合同，生病不干了辞职后压的半个月工资不给了的情况，以下是我的详细解答：
结论前置：饭店因您生病离职而拒绝支付实际工作天数的工资是违法的，您有权要求饭店支付应得的工资，并可通过一系列法律途径来维护自己的合法权益。
一、法律背景与依据
关于工资支付：
- 根据《中华人民共和国劳动法》第五十条，工资应当以货币形式按月支付给劳动者本人，不得克扣或者无故拖欠劳动者的工资。这意味着，只要您在饭店工作了，无论时间长短，饭店都应按您实际工作的天数支付工资。
- 《劳动合同法》也规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应按照约定或国家规定及时足额支付劳动报酬。即使未签订劳动合同，但形成了事实上的劳动关系，同样受法律保护。
关于未签订劳动合同：
- 《中华人民共和国劳动合同法》第十条规定，建立劳动关系时应订立书面劳动合同。若已建立劳动关系但未同时订立书面劳动合同，应在用工之日起一个月内订立。虽然您工作仅半个月，饭店未及时签订合同虽不符合规定，但在此期间内暂无需承担额外的赔偿责任（超过一个月未签，则从第二个月起需支付双倍工资）。
因病离职与工资支付：
- 除非能证明您的疾病与工作有直接关联且造成了重大损失，否则饭店不能因此扣发您的工资。生病离职并不是饭店拒付工资的合法理由。
二、法律建议与维权措施
与饭店协商：
- 首先尝试与饭店的人力资源部门或直接上级沟通，明确说明您已按要求完成工作，并因生病离职，要求饭店按实际工作天数支付工资。
- 在沟通过程中，保留相关聊天记录或通话录音作为证据。
- 向饭店提及相关法律法规，表明您了解自身权益，希望饭店依法处理。
向劳动监察部门投诉：
- 若协商无果，向当地劳动监察部门投诉。
- 准备能够证明您在该饭店工作过的证据，如工作证、考勤记录、工资条（或工资核算记录）、同事证言等。
- 劳动监察部门将调查饭店，若查证属实，会责令饭店限期支付工资。
申请劳动仲裁：
- 若对劳动监察部门的处理结果不满意，或饭店仍拒绝支付工资，可向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
- 提交仲裁申请书及相关证据材料，包括个人信息、饭店信息、仲裁请求、事实和理由、证据及来源、证人信息等。
- 劳动仲裁一般会在受理后45天内作出裁决，复杂案件可延期但不超过15天。若对仲裁裁决不服，可在规定时间内向人民法院提起诉讼。
主张双倍工资赔偿：
- 根据《劳动合同法》的规定，若饭店自用工之日起超过一个月不满一年未与您订立书面劳动合同，您有权主张这部分双倍工资的赔偿。但需注意，双倍工资的支付最多不超过11个月，且需在仲裁或诉讼时效内提出。
三、注意事项
- 保留证据：在整个维权过程中，务必保留好所有相关证据，如工作证、考勤记录、工资条、聊天记录等，以备不时之需。
- 关注时效：劳动争议申请仲裁的时效为一年，从知道或应当知道权利被侵害之日起计算。请务必在时效内采取行动，以免错过维权时机。
综上所述，饭店因您生病离职而拒绝支付工资是违法的。您应首先尝试与饭店协商，若协商无果，则依次采取向劳动监察部门投诉、申请劳动仲裁等法律手段来维护自己的合法权益。在整个过程中，保留好相关证据并关注时效问题是至关重要的。如有任何进一步的问题或需要更具体的法律建议，请随时向我咨询。