公司没有给员工签订劳动合同，员工可以向当地劳动监察部门投诉，也可以申请劳动仲裁或向法院起诉来维护自己的权益。以下是对此问题的详细分析：
一、向劳动监察部门投诉
职责与优势：
- 劳动监察部门是负责监督检查用人单位遵守劳动保障法律、法规和规章情况的政府部门。当公司未与员工签订劳动合同时，员工可以向该部门投诉，由其对用人单位进行调查和处理。
- 投诉方式简便，且劳动监察部门具有强制执行力，能够快速有效地对用人单位的违法行为进行纠正。
处理流程：
- 员工需提交投诉材料，包括个人及用人单位的基本信息，以及权益受到侵害的事实和投诉请求等。
- 劳动监察部门在收到投诉后，会在5个工作日内决定是否受理，并随后对用人单位进行调查核实。若发现违法行为，会责令限期改正，逾期不改则可依法给予行政处罚。
二、申请劳动仲裁
适用情形：
- 当员工希望通过仲裁方式要求公司支付未签劳动合同的双倍工资等权益诉求时，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
处理流程：
- 员工需在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内，向劳动合同履行地或用人单位所在地的仲裁委员会提交书面仲裁申请。
- 仲裁委员会在收到申请后5日内决定是否受理，并随后安排开庭审理。双方当事人在庭上进行举证、质证和辩论。仲裁庭一般在受理申请之日起45日内作出裁决，复杂案件可延期但不超过15日。
三、向法院起诉
优势：
- 人民法院的判决具有终局性和强制执行力，为劳动者提供最终的司法保障。当员工对仲裁裁决不服时（除终局裁决外），可以在收到裁决书之日起15日内向人民法院提起诉讼。
处理流程：
- 法院在收到起诉材料后进行审查，符合受理条件的7日内立案。随后安排开庭审理，经过法庭调查、辩论等程序后作出判决。一审普通程序审理期限一般为6个月，简易程序为3个月。对一审判决不服的，可在收到判决书之日起15日内提起上诉。
四、法律依据
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。”
五、建议与注意事项
证据收集：
- 在采取上述措施前，员工应尽可能收集与用人单位存在劳动关系的证据，如工资支付凭证、工作证、考勤记录等，以便在投诉、仲裁或诉讼过程中证明自己的权益。
及时行动：
- 员工应在知道或应当知道权利被侵害之日起及时采取行动，以免超过法定时效而丧失维权机会。
法律咨询：
- 在整个过程中，员工如有需要可以随时向我咨询，以获取更具体的法律指导和支持。
综上所述，公司没有给员工签订劳动合同是违法行为，员工可以通过向劳动监察部门投诉、申请劳动仲裁或向法院起诉等途径来维护自己的合法权益。