如果公司和员工没有签合同，员工可以通过一系列措施来维护自己的合法权益，同时公司也应积极采取措施以避免法律风险。以下是从员工和公司两个角度出发的详细解答：
一、员工角度
主动要求签订合同
- 员工有权要求公司与自己签订书面劳动合同，这是明确双方权利和义务的基础。如果公司拒绝或拖延签订，员工应保留相关证据，如沟通记录、邮件等，为后续维权做准备。
收集并保留证据
- 员工应积极收集能证明与公司存在事实劳动关系的证据，包括但不限于工作证、考勤记录、工资条、同事证言、业务往来文件等。这些证据在后续维权过程中将起到关键作用。
申请劳动仲裁或提起诉讼
- 如果公司拒绝签订劳动合同且拒不支付双倍工资差额（根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，公司自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资），员工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
二、公司角度
及时补签劳动合同
- 公司应尽快与员工协商并补签劳动合同，明确双方的权利和义务。根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系但未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立。
支付双倍工资差额（如适用）
- 如果公司超过一个月不满一年未与员工订立书面劳动合同，需要向员工每月支付二倍的工资作为赔偿。这是对员工权益的保障，也是对公司未及时签订劳动合同行为的惩罚。公司在补签合同的同时，应计算并支付相应的双倍工资差额。
规范劳动合同管理
- 公司应建立完善的劳动合同管理制度，确保所有员工都能及时签订劳动合同。同时，加强对劳动合同签订情况的监督和检查，及时发现并纠正问题，以避免类似的法律风险。
承担法律责任（如因未签合同导致员工损失）
- 如果因公司未依法签订劳动合同给员工造成损失的，公司应承担赔偿责任。这包括但不限于因未签订合同而导致的社保未缴纳、经济补偿未支付等损失。
三、注意事项
- 了解法律规定：双方都应了解《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规的规定，明确各自的权利和义务。这有助于在发生纠纷时，能够依据法律规定来维护自己的权益。
- 保持沟通：在处理过程中，双方应保持冷静和理性，通过沟通协商解决问题。这有助于减少冲突和矛盾，达成双方都能接受的解决方案。
- 及时行动：一旦发现问题，应及时采取行动，避免问题扩大化或复杂化。例如，员工在发现公司未签订劳动合同时，应尽快与公司沟通并要求签订合同；公司在发现未与员工签订合同时，也应尽快补签并支付相应的赔偿。
总结：公司和员工未签订劳动合同时，双方都应积极采取措施来解决问题。员工可以通过收集证据、申请劳动仲裁或提起诉讼等方式来维护自己的合法权益；公司则应及时补签劳动合同、支付双倍工资差额（如适用）、规范劳动合同管理并承担法律责任（如因未签合同导致员工损失）。在整个过程中，双方都应了解法律规定、保持沟通并及时行动。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。