结论是：母亲起诉父亲支付抚养费是否成立，需视具体情况而定，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
一、抚养费支付义务的法律基础
根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条的规定，离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。这是法律对不直接抚养子女一方所设定的法定义务。因此，从法律条文的角度来看，父亲作为不直接抚养子女的一方，确实负有支付抚养费的义务。
二、实际抚养情况对抚养费支付义务的影响
若孩子实际由父亲抚养：
- 尽管抚养权判给了母亲，但如果孩子实际上一直由父亲抚养，且母亲未履行抚养义务，那么父亲可以主张母亲未实际抚养孩子，从而质疑其要求支付抚养费的合理性。
- 在此情况下，父亲可以提供证据证明自己实际承担了抚养孩子的责任，如生活费用、教育费用、医疗费用等支付凭证，以及孩子与自己共同生活的证明等。
若孩子实际由母亲抚养，但父亲长期带在身边：
- 如果母亲实际上在抚养孩子，只是由于某些原因（如工作、生活等）让孩子暂时与父亲生活，那么父亲长期带在身边并不改变母亲作为直接抚养人的事实。
- 在此情况下，母亲有权要求父亲按照法律规定支付抚养费。父亲不能以实际带孩子为由拒绝支付抚养费。
三、抚养权变更的可能性
- 如果父亲长期抚养孩子，且母亲未提出异议，双方可能实质上已经就变更抚养权达成了一致。在这种情况下，如果母亲突然要求父亲支付抚养费，父亲可以主张抚养权已经变更，从而质疑母亲的要求。
- 然而，抚养权的变更需要法律程序的确认。如果双方未通过法律程序变更抚养权，那么从法律上讲，抚养权仍然属于母亲，父亲仍然负有支付抚养费的义务。
四、法律建议
对于母亲而言：
- 如果母亲认为父亲未支付抚养费，且自己实际上在抚养孩子，那么母亲可以收集证据（如离婚协议书、银行转账记录、聊天记录、孩子与自己共同生活的证明等），向法院提起诉讼，要求父亲支付拖欠的抚养费。
对于父亲而言：
- 如果父亲认为自己实际上在抚养孩子，且母亲未履行抚养义务，那么父亲可以收集证据（如生活费用、教育费用、医疗费用等支付凭证，孩子与自己共同生活的证明等），在应诉时提出抗辩，甚至可以反诉要求变更抚养权。
- 如果父亲确实存在经济困难，无法按时支付抚养费，可以向法院申请减免或者延期支付。
在实际操作中，每个案件的具体情况都有所不同。因此，在处理此类纠纷时，建议双方咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。如果有任何法律问题，也可以直接向我咨询。