结论：即使孩子判给母亲且抚养费由母亲负担，母亲仍然可以起诉父亲要抚养费，这主要基于法律对父母抚养义务的规定以及可能存在的特殊情况。以下从不同角度进行分析：

1. 法律对父母抚养义务的规定：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对子女有抚养教育的义务。这一义务是法定的，不因父母离婚或子女抚养权的归属而免除。
   • 抚养费是父母为子女提供生活、教育、医疗等所需费用的一种经济支持。即使抚养权判给母亲，父亲仍然有义务承担部分或全部抚养费，具体取决于双方的协商或法院的判决。

2. 可能存在的特殊情况：

   • 母亲经济困难：如果母亲在抚养孩子过程中遇到经济困难，无法独自承担抚养费，她有权向法院提起诉讼，要求父亲承担相应的抚养费。
   • 父亲未履行抚养义务：如果父亲在离婚后未按照约定或法院判决履行抚养义务，母亲也可以起诉父亲，要求其支付拖欠的抚养费。
   • 子女实际需要增加：随着子女的成长，其生活、教育等费用可能会增加。如果母亲认为当前的抚养费无法满足子女的实际需要，她也可以向法院提起诉讼，要求父亲增加抚养费。

3. 法律程序与证据：

   • 母亲在起诉父亲要抚养费时，需要提供相关证据证明父亲未履行抚养义务或抚养费不足，如银行转账记录、聊天记录、子女实际开支的票据等。
   • 法院在审理此类案件时，会综合考虑双方的收入状况、子女的实际需要以及当地的生活水平等因素，作出合理的判决。

4. 后续行动与建议：

   • 如果母亲决定起诉父亲要抚养费，建议她先与父亲进行协商，尝试通过友好方式解决争议。
   • 如果协商无果，母亲可以寻求法律援助或咨询专业律师，了解具体的法律程序和证据要求，以便更好地维护自己和子女的权益。

总结与启示：父母对子女的抚养义务是法定的，不因离婚或抚养权归属而免除。即使孩子判给母亲且抚养费由母亲负担，母亲仍然有权在特定情况下起诉父亲要抚养费。这既体现了法律对子女权益的保护，也提醒父母在离婚后仍应积极履行抚养义务，共同为子女的成长创造良好条件。如果您有进一步的法律问题或需要具体的法律建议，请直接向我咨询。