结论：孩子18岁后，在一般情况下不能起诉要求父亲支付抚养费，但在特殊情况下，如仍在校接受高中及以下学历教育或因丧失、部分丧失劳动能力等非主观原因无法维持正常生活时，可以起诉要求父亲继续支付抚养费，且抚养费通常是支付给直接抚养子女的一方（如母亲），用于子女的日常生活和教育等开支。

详细分析：

1. 一般情况下的抚养费支付规定：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条，离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应负担部分或全部抚养费，具体数额和期限由双方协议或由法院判决确定。但抚养费的给付期限一般至子女十八周岁为止。若子女十六周岁以上不满十八周岁，以其劳动收入为主要生活来源并能维持当地一般生活水平，父母可停止给付抚养费。
   • 因此，从法律通常规定来看，子女年满十八周岁后，父母不再负有法定的抚养义务，子女一般不能再起诉要求父母支付抚养费。

2. 特殊情况下的抚养费支付规定：

   • 根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第四十一条，尚在校接受高中及其以下学历教育，或丧失、部分丧失劳动能力等非因主观原因而无法维持正常生活的成年子女，可被认定为“不能独立生活的成年子女”。
   • 在这些特殊情况下，即使子女已年满十八周岁，仍有权起诉要求父母继续支付抚养费。例如，如果孩子正在上高中或因身体原因无法工作，需要父母的经济支持来维持生活和教育，那么孩子（或直接抚养孩子的一方）可以向法院起诉要求父亲支付抚养费。

3. 抚养费的支付对象：

   • 抚养费通常是支付给直接抚养子女的一方，用于子女的日常生活、教育、医疗等开支。因此，如果孩子由母亲直接抚养，那么父亲支付的抚养费通常是给母亲的。

4. 提起诉讼的要求与法院审理原则：

   • 如果孩子（或直接抚养孩子的一方）决定提起诉讼要求抚养费，需提供充分证据证明孩子的需求以及父亲未履行抚养义务的事实。例如，可以提供学校的证明、医疗费用单据、生活费用清单等证据。
   • 法院在审理这类案件时，会综合考虑孩子的实际情况、教育需求、劳动能力以及父亲的经济状况等因素，作出公正判决。

法律建议：

• 如果孩子符合上述特殊情况之一，且父亲未支付抚养费，建议先与父亲进行协商，尝试达成和解或调解协议。如果协商无果，再考虑向法院提起诉讼。
• 在提起诉讼前，务必收集好相关证据，以证明孩子的需求和父亲未履行抚养义务的事实。这些证据将有助于法院在审理案件时做出公正裁决。

示例说明：

假设小明现在18岁，正在上高三，其父母离婚时约定父亲每月支付一定数额的抚养费。但最近几个月，父亲一直未支付抚养费。在这种情况下，小明（或其母亲作为直接抚养人）可以向法院起诉要求父亲支付拖欠的抚养费以及未来至高中毕业期间的抚养费。法院在审理时，会考虑小明的教育需求、父亲的经济状况等因素，作出公正判决。