可以申请劳动仲裁。针对您提出的“哺乳期公司没签合同自动离职可以仲裁吗”这一问题，以下是我的详细分析：

一、关于未签劳动合同

根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，即使您在哺乳期自动离职，如果公司未与您签订书面劳动合同，您仍有权要求公司支付未签劳动合同期间的双倍工资差额。这部分权益可以通过劳动仲裁来维护。

二、关于自动离职

自动离职本身并不影响您申请劳动仲裁的权利。然而，需要注意的是，自动离职可能涉及到您与公司之间的劳动关系解除问题。如果您在离职时未与公司办理正式的离职手续，或者公司未对您进行离职结算（如工资、经济补偿等），这些都可以作为劳动仲裁的请求事项。

三、关于哺乳期权益

在哺乳期，女性劳动者享有特殊的法律保护。根据《劳动法》和《女职工劳动保护特别规定》，用人单位不得因女职工怀孕、生育、哺乳降低其工资、予以辞退、与其解除劳动或者聘用合同。如果您在哺乳期被公司违法解除劳动关系，您有权要求公司继续履行合同或者支付赔偿金。这部分权益同样可以通过劳动仲裁来维护。

四、劳动仲裁的流程与注意事项

1. 准备证据：包括但不限于工作证、工资条、银行流水、同事证言等，以证明您与公司之间存在劳动关系以及公司未签劳动合同的事实。
2. 提交仲裁申请：向当地劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，并附上相关证据材料。
3. 参加仲裁庭审：按照仲裁委员会的通知参加庭审，陈述事实、提供证据并发表意见。
4. 等待裁决结果：仲裁委员会将在规定时间内作出裁决，您需要等待并执行裁决结果。

在申请劳动仲裁时，您需要注意以下几点：

• 确保仲裁请求明确、具体，并符合法律法规的规定。
• 按时参加仲裁庭审，避免因缺席而影响裁决结果。
• 如果对裁决结果不服，可以在规定时间内向人民法院提起诉讼。

最后，我建议您在申请劳动仲裁前，先与公司进行协商，看是否能够达成和解。如果协商无果，再考虑通过法律途径来维护自己的权益。如果您在劳动仲裁过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。