针对您在私人小厂工作十多年却未签订劳务合同且未购买社保的情况，我可以从法律分析、维权措施、经济补偿与赔偿可能性以及注意事项与建议几个方面，为您详细解答是否可以要求老板补买社保。
一、法律分析
根据《中华人民共和国社会保险法》和《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应依法为劳动者缴纳社会保险。这是用人单位的法定义务，若单位未履行此义务，则属于违法行为。因此，您有权要求老板为您补买社保。
二、维权措施
协商补缴：
- 步骤：您可以主动与工厂老板沟通，明确提出补缴社保的要求，并可以提及滞纳金（如有）的问题。
- 优势：这种方式成本最低、效率最高，能够避免法律纠纷。
- 注意：在协商过程中，请务必保留好工资条、考勤记录等能证明您与工厂存在劳动关系的证据。
向社保部门投诉：
- 流程：如果协商无果，您可以向当地社保局或劳动保障监察机构进行举报。在举报时，需要提交劳动合同（如有）、银行流水等能证明您与工厂存在劳动关系的材料。
- 结果：行政部门将会对工厂进行调查，并责令其限期整改。如果工厂逾期未改，可能会面临罚款等处罚。
申请劳动仲裁：
- 时效：您需要在离职后一年内提出劳动仲裁申请（如果您仍在职，则不受此时间限制）。
- 诉求：在仲裁过程中，您可以主张补缴社保、经济补偿金（如因未缴社保导致您离职）等诉求。
- 准备材料：为了支持您的仲裁请求，您需要准备身份证明、工作证明、工资支付记录等材料。
提起诉讼：
- 适用情况：如果您对劳动仲裁的结果不满意，可以向法院提起诉讼。
- 注意事项：在诉讼过程中，您需要有充分的证据来证明您与工厂的劳动关系以及因未缴社保而遭受的损失（如医疗费用无法报销等）。
三、经济补偿与赔偿的可能性
- 经济补偿金：如果您因工厂未缴社保而被迫离职，根据相关法律规定，您有权主张按每满一年支付一个月工资的标准获得经济补偿金（上限为12个月）。
- 赔偿损失：如果您因未缴社保导致无法享受养老、医疗等待遇，您可以要求工厂赔偿您的实际损失。但请注意，您需要提供相关证明来支持您的赔偿请求。
四、注意事项与建议
- 证据留存：请务必保存好所有能证明您与工厂存在劳动关系的文件，如工资流水、工牌、邮件、聊天记录等。
- 法律咨询：如果情况比较复杂，建议您咨询专业律师，以评估您的胜诉概率及制定合适的维权策略。
- 及时行动：请注意，维权有时效限制，拖延可能会导致您的权利丧失。因此，请尽快采取行动来维护自己的权益。
- 理性协商：在维权过程中，优先尝试与工厂进行和解，以降低维权成本和时间消耗。
综上所述，您完全有权要求老板为您补买社保，并可以通过协商、投诉、仲裁或诉讼等途径来维护自己的权益。希望这些建议能对您有所帮助。