针对您的情况，首先明确结论：在劳动合同到期未续签且公司后续以不胜任职位为由提出解除的情况下，您有权要求公司承担相应的法律责任，具体包括经济补偿等。接下来，我将从多个角度为您详细分析：
一、劳动合同到期未续签的法律后果
劳动合同终止：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满的，劳动合同终止。这意味着，从6月30日起，您与公司之间的劳动合同关系在法律上已经结束。
未续签的责任：如果公司未在劳动合同期满前与您协商续签劳动合同，且继续让您工作，那么公司可能面临支付双倍工资的风险（如果未续签劳动合同但继续用工超过一个月不满一年）。不过，这一风险在此案例中可能因后续公司提出解除而有所变化，但仍需关注公司是否在此期间有违法用工行为。
二、公司以不胜任职位为由解除的法律分析
不胜任工作的认定：公司主张您不胜任此职位，需要提供充分的证据来证明这一点，如工作考核记录、工作表现评价等。如果公司无法提供充分证据，那么其解除行为可能构成违法解除。
违法解除的后果：如果公司被认定为违法解除劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，您有权要求公司支付赔偿金，赔偿金的标准通常为经济补偿的两倍。经济补偿的计算基数是您在公司工作的年限和月工资。
三、您的权利与应对策略
要求经济补偿：无论公司是否构成违法解除，您都有权要求公司支付经济补偿（如果公司合法解除但未提前通知，则可能需支付代通知金；如果公司违法解除，则需支付赔偿金）。经济补偿的计算方式通常是根据您在公司的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
收集证据：为了维护自己的权益，建议您收集相关证据，如劳动合同、工资单、工作考核记录、公司解除通知等。这些证据将有助于您在后续的劳动争议处理中证明自己的主张。
协商与仲裁：您可以先尝试与公司进行协商，看是否能够达成和解。如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司承担相应的法律责任。
四、特殊情况考虑
如果公司提出续签但条件降低：如果公司在劳动合同期满后提出续签，但续签条件（如工资、职位等）较之前有所降低，您有权拒绝续签，并要求公司支付经济补偿。
如果公司未提出续签也未解除：如果公司在劳动合同期满后既未提出续签也未解除劳动合同，但继续让您工作，那么您应关注公司是否按时支付工资、缴纳社保等。如果公司存在违法用工行为，您同样有权要求公司承担相应的法律责任。
最后，我建议您尽快与公司进行沟通，明确公司的态度和意图，并同时收集相关证据以备不时之需。如果公司态度强硬或无法达成和解，您可以及时向我咨询并申请劳动争议仲裁。在处理此类问题时，保持冷静和理性至关重要。