结论：针对您提出的“合同到期后公司没有续签合同，员工继续工作7个月，员工要求续签合同并补偿未签”的问题，这主要涉及到劳动合同到期未续签的法律后果及经济补偿问题。以下是从不同角度的详细分析：
一、劳动合同到期未续签的法律后果
一般情况：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满时，除用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订而劳动者不同意续订的情形外，用人单位应当终止固定期限劳动合同，并向劳动者支付经济补偿。
您的情况：
- 在您的情况下，合同到期后公司未续签，但员工继续工作了7个月。这构成了事实上的劳动关系延续，但并未签订新的书面劳动合同。
二、经济补偿的计算与要求
经济补偿的计算：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
- 六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 在您的情况下，由于员工继续工作了7个月，因此应视为工作了一年（因为六个月以上不满一年按一年计算），所以公司应支付一个月工资作为经济补偿。但考虑到员工实际多工作了1个月（超出原合同期限的7个月中，前6个月已按一年计算，剩余1个月应单独计算，但此处为简化说明，我们按整体情况分析，实际计算时可能需更细致划分），若严格从法律条文出发，对于这多出的1个月，若公司未提出续签且员工继续工作，理论上公司可能还需支付额外的经济补偿（但通常实践中会按整体工作年限合并计算，此处主要强调法律原则）。不过，更关键的是，由于公司未续签合同而员工继续工作，公司还需承担未签书面劳动合同的法律责任。
- 额外责任：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，在您的情况下，公司除了支付经济补偿外，还应支付员工继续工作期间（即未签合同的7个月）中，除第一个月外的6个月的双倍工资（因为第一个月通常视为续签或新签合同的宽限期，但此处为严格法律解释，实际操作中可能因具体情况有所不同）。不过，由于员工已实际工作且未提出异议，实践中可能更侧重于经济补偿和未签合同期间的工资补足（若已按正常工资支付，则主要补足差额部分，但此处公司显然未支付双倍工资，故需支付）。但为简化说明，我们主要强调公司应支付经济补偿及可能面临的双倍工资责任。
员工的要求：
- 员工有权要求公司续签劳动合同，并支付因未续签合同而产生的经济补偿。
- 同时，员工还可以要求公司支付未签书面劳动合同期间的双倍工资（但需注意诉讼时效等问题，一般应在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内提出）。
三、实际操作建议
协商：
- 首先，建议员工与公司进行协商，尝试达成续签合同的协议，并就经济补偿和未签合同期间的工资问题进行友好解决。
投诉或仲裁：
- 如果协商无果，员工可以向当地劳动监察部门投诉，或者向劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付经济补偿和未签书面劳动合同期间的双倍工资。
法律途径：
- 如果劳动仲裁结果不满意，员工还可以通过法律途径（如诉讼）来维护自己的合法权益。
示例说明：假设员工的月工资为5000元，那么在公司未续签合同且员工继续工作7个月的情况下，公司除了应支付员工正常工作的工资外（假设已支付），还应支付员工一个月工资（5000元）作为经济补偿，并可能面临支付未签书面劳动合同期间（除第一个月外）的双倍工资责任（即6个月×5000元=30000元，但需注意实际操作中可能因具体情况和证据收集而有所不同）。
最后建议：由于劳动法律问题具有复杂性和地域性，建议您在采取任何行动前，先咨询我或当地的专业律师，以确保您的权益得到充分保障。如果您有任何进一步的法律问题或需要具体的法律帮助，请随时向我咨询。