针对您提出的问题，即劳动合同到期后公司没有续签，但员工继续工作了5个月，现在公司要求续签合同的情况，以下是我为您提供的详细解答：
一、当前劳动关系状态
尽管原劳动合同已经到期，但您继续为公司工作且公司未提出异议，并继续安排工作任务和发放工资，根据法律规定，双方之间实际上已经形成了事实劳动关系。这种事实劳动关系同样受到《中华人民共和国劳动合同法》等法律法规的保护。
二、公司要求续签合同的法律分析
公司有权要求续签：
- 公司作为用人单位，在事实劳动关系存在的情况下，有权提出续签书面劳动合同的要求，以明确双方的权利和义务。
员工应积极响应：
- 从员工的角度来看，续签书面劳动合同有助于保障自己的合法权益，避免未来可能出现的劳动纠纷。因此，建议您积极响应公司的要求，与公司协商续签合同的具体条款。
三、若公司之前未续签的法律后果及员工权益
双倍工资支付：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，如果公司自用工之日起超过一个月不满一年未与您订立书面劳动合同，您有权要求公司支付双倍工资。在您的情况下，即从原合同到期后的第二个月起，您可以主张双倍工资差额，直至双方签订新的书面劳动合同或者至满一年为止。
经济补偿权（若未来合同终止或解除）：
- 如果未来公司决定不续签合同或者您选择离职，且您无过错，您有权根据工作年限要求公司支付相应的经济补偿。经济补偿按您在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准。
四、建议行动步骤
与公司协商续签：
- 主动与公司沟通，表达续签合同的意愿，并就合同条款进行协商。确保新合同中明确双方的权利和义务，包括工作内容、工作地点、工资待遇、工作时间等。
保留相关证据：
- 在协商过程中，建议使用书面形式（如邮件、书面申请等）进行沟通，并保留好相关证据。同时，继续保留工资条、银行工资流水明细、工作证、考勤记录等，以证明您的工作时间和收入情况。
了解并主张自己的权益：
- 如果公司拒绝续签合同或者提出不合理的条款，您有权通过劳动仲裁或诉讼等法律途径来维护自己的合法权益。在此之前，建议您先了解相关的法律法规和程序，以便更好地主张自己的权益。
五、公司的风险和责任
经济成本增加：
- 如果公司未及时与您续签书面劳动合同，可能需要承担支付双倍工资的成本，这将显著增加公司的用工成本。
法律处罚风险：
- 劳动行政部门有权对公司的违法行为进行监督检查。如果发现公司存在未依法与劳动者签订书面劳动合同的情况，可能会责令公司限期改正；逾期不改正的，公司将面临行政处罚的风险。
综上所述，建议您积极响应公司的要求，与公司协商续签书面劳动合同。同时，了解并主张自己的合法权益，保留好相关证据，以备不时之需。如果公司在续签过程中提出不合理的要求或者拒绝续签，您有权通过法律途径来维护自己的合法权益。