针对您提出的“月工资6000，工作5个月不签劳动合同如何赔偿，怎么计算”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
首先，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月但不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这是为了保护劳动者的合法权益，确保劳动关系的规范化。
针对您的情况，具体赔偿内容和计算方式如下：
支付双倍工资差额：
- 您已经工作了五个月，但用人单位未与您签订书面劳动合同。因此，从用工之日起满一个月的次日（即第二个月的第一天）开始，到实际用工满五个月为止，用人单位应当向您支付双倍的工资差额。
- 计算期间为四个月（因为第一个月不算双倍工资）。
- 计算方法为：月工资（6000元）乘以4，即6000元/月 × 4月 = 24000元。这是用人单位因未签订劳动合同而应额外支付给您的赔偿金额。
补缴社会保险：
- 除了双倍工资差额外，用人单位还有义务为您补缴这五个月的社会保险费用，包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险和生育保险。
其他损失赔偿：
- 如果因未签订劳动合同导致您遭受了其他损失，如无法享受某些福利待遇等，用人单位也需要承担相应的赔偿责任。不过，这部分赔偿的具体金额和方式需要根据实际情况和法律规定进行协商或仲裁确定。
接下来，关于维权途径，我建议您：
与用人单位协商：
- 作为最直接且成本较低的方式，您可以先与用人单位的人力资源部门或负责人沟通，指出未签订劳动合同的违法性，并要求按法律规定支付赔偿和补缴社会保险。
申请劳动仲裁：
- 如果协商不成，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请时，您需要准备相关证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等，以证明劳动关系及工作时间。
提起诉讼：
- 如果对仲裁结果不满意，您还可以向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要遵循法律程序，提供充分证据支持您的诉求。
综上所述，针对您的情况，用人单位应当向您支付24000元的双倍工资差额，并为您补缴五个月的社会保险费用。如果因此遭受了其他损失，还可以要求用人单位进行相应的赔偿。希望这些信息能对您有所帮助，并祝您维权顺利！