结论：私立学校无固定理由、无其他合理理由辞退一名工作达11年的员工，属于违法解除劳动合同的情形，员工有权要求学校支付赔偿金。

法律背景与解释：

1. 违法解除劳动合同的认定：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同必须基于合法、合理的理由，并遵循法定的程序。若私立学校无法提供合法、合理的辞退理由，或未遵循法定程序，则构成违法解除劳动合同。

2. 赔偿金的计算：

   • 对于违法解除劳动合同的情形，员工有权要求用人单位支付赔偿金。赔偿金的计算通常基于员工在用人单位的工作年限和月工资。
   • 计算公式：赔偿金 = 工作年限 × 月工资 × 2（其中，工作年限超过12年的，按12年计算；月工资是指员工在劳动合同解除前十二个月的平均工资，且不得超过当地上年度职工月平均工资的三倍）。
   • 具体计算：由于员工在私立学校工作达11年，因此赔偿金应为11年 × 月工资 × 2。例如，如果员工的月工资为5000元，则赔偿金为11 × 5000 × 2 = 110000元。

3. 员工权益保护：

   • 员工在遭遇违法解除劳动合同时，应首先与用人单位协商，要求支付赔偿金。
   • 若协商无果，员工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求确认用人单位的解除行为违法，并裁决用人单位支付赔偿金。
   • 对仲裁裁决不服的，员工还可以向人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。

法律建议：

• 收集证据：员工应尽可能收集与工作相关的证据，如劳动合同、工资单、工作记录等，以证明自己的工作年限和月工资水平。
• 及时咨询：在遭遇违法解除劳动合同时，员工应及时咨询专业律师，了解自己的权益和维权途径。
• 积极维权：员工应积极行使自己的权利，通过协商、仲裁或诉讼等方式维护自己的合法权益。

可能的法律后果：

• 如果私立学校被认定违法解除劳动合同，除了需要支付赔偿金外，还可能面临劳动行政部门的处罚，如罚款、责令改正等。
• 私立学校的违法行为还可能影响其声誉和信誉，对未来的招聘和运营产生不利影响。

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