结论：在您描述的情况下，即私校工作六年合同到期，本身没有重大过失，学校不再续签，您是有权获得经济补偿的。
法律背景与解释：
合同到期不续签的经济补偿：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，当劳动合同期满，且用人单位（在此为私校）决定不再与劳动者续签劳动合同时，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
经济补偿的计算方式：
- 经济补偿的计算通常基于劳动者在用人单位的工作年限。具体来说，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 在您的情况下，工作六年，因此应支付六个月的工资作为经济补偿。这里的“月工资”是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
特殊情况下的经济补偿：
- 如果您的月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。不过，这种情况在大多数普通劳动者中并不常见。
学校不续签的合法性：
- 学校作为用人单位，在合同到期后有权选择是否续签。但是，如果学校决定不续签，就必须按照法律规定支付经济补偿。这是学校的法定义务，不能通过合同条款或其他方式免除。
建议与行动：
- 与学校协商：首先，您可以尝试与学校进行友好协商，明确表达您对经济补偿的期望，并了解学校的具体态度和理由。
- 收集证据：如果协商无果，您需要收集相关证据，如劳动合同、工资单、工作证明等，以证明您的工作年限和工资水平。
- 申请劳动仲裁：如果学校仍然拒绝支付经济补偿，您可以向当地的劳动仲裁机构申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
可能后果：
- 如果学校按照法律规定支付了经济补偿，那么双方的关系将和平结束，没有进一步的法律纠纷。
- 如果学校拒绝支付经济补偿，并且您通过法律途径维权成功，学校不仅需要支付经济补偿，还可能面临额外的法律责任和声誉损失。
如果您在处理此事过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。