结论：第三次劳动合同到期时，若员工提出或同意续订无固定期限劳动合同，公司无正当理由拒绝并试图解除劳动合同的，属于违法解除，需承担法律责任；若公司希望合法解除劳动合同，必须基于法定事由并履行法定程序。

具体分析如下：

1. 无固定期限劳动合同的签订义务
   根据《劳动合同法》第十四条，连续订立两次固定期限劳动合同后，员工提出或同意续订劳动合同的，除员工提出订立固定期限劳动合同外，公司应当与其订立无固定期限劳动合同。若公司拒绝签订，员工有权要求继续履行合同或主张赔偿。

2. 公司违法解除的法律后果
   若公司未签订无固定期限劳动合同且无正当理由解除劳动关系，属于违法解除。根据《劳动合同法》第四十八条、第八十七条，员工可要求：

   • 继续履行合同：若员工要求恢复劳动关系，公司需继续履行；
     
   • 赔偿金：若员工不要求继续履行或合同无法继续履行，公司需支付赔偿金（标准为经济补偿金的二倍，即每工作一年支付两个月工资）。

3. 公司合法解除的唯一路径：法定事由+程序
   若公司希望解除劳动合同，必须基于《劳动合同法》第三十九条（员工过错）、第四十条（无过失性辞退）或第四十一条（经济性裁员）的法定事由，并履行以下程序：

   • 第三十九条（过错解除）：需证明员工存在严重违纪、失职、刑事犯罪等行为，且解除决定需通知工会（如有）；
     
   • 第四十条（无过失性辞退）：需提前三十日书面通知或支付代通知金，并支付经济补偿金；
     
   • 第四十一条（经济性裁员）：需符合裁员条件（如破产重整、经营困难），履行报告工会、公告等程序，并支付经济补偿金。
     注意：若公司以“合同到期不续签”为由解除，在第三次合同后不适用，因此时员工已享有签订无固定期限合同的权利。

4. 实务建议

   • 合规操作：公司应在第三次合同到期前与员工协商，若员工同意签订无固定期限合同，应及时签署；若员工拒绝，可签订固定期限合同（需员工书面确认）；
     
   • 避免风险：若公司无合法解除事由，切勿单方终止合同，否则将面临赔偿金或恢复劳动关系的后果；
     
   • 协商解决：若公司确需调整劳动关系，可与员工协商一致解除合同，并支付经济补偿金（标准为每工作一年支付一个月工资）。

总结：第三次劳动合同到期时，公司无权单方拒绝签订无固定期限劳动合同并解除劳动关系。若需解除合同，必须基于法定事由并履行法定程序，否则将构成违法解除。建议公司提前评估风险，通过合规操作或协商解决避免法律纠纷。