当公司面临员工要求签订无固定期限劳动合同，而公司不愿签订的情况时，公司需要谨慎处理，以避免法律风险和潜在的劳动纠纷。以下是我为公司提供的详细建议：

一、确认员工是否符合签订条件

首先，公司应仔细审查员工的情况，确认其是否满足《劳动合同法》中规定的签订无固定期限劳动合同的条件。这些条件包括但不限于：

1. 员工在公司连续工作满十年；
2. 公司初次实行劳动合同制度或国有企业改制重新订立劳动合同时，员工已连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年；
3. 员工与公司已连续订立二次固定期限劳动合同，且员工没有严重违反公司规章制度或不能胜任工作等情形，且员工提出续订劳动合同的。

若员工不符合上述任一条件，公司有权拒绝签订无固定期限劳动合同，但应明确告知员工原因，并保留好相关证据。

二、与员工进行友好协商

若员工符合签订条件，公司应首先尝试与员工进行友好协商。在协商过程中，公司可以解释不愿签订无固定期限劳动合同的原因，如公司战略调整、岗位需求变化等，并尝试提出替代方案，如签订较长期限的固定期限劳动合同、提供其他福利待遇等，以寻求双方都能接受的解决方案。

三、寻求法律意见

在协商过程中，若公司存在疑虑或不确定如何处理，建议寻求专业法律意见。律师可以为公司提供法律咨询，帮助公司理解相关法律规定，评估法律风险，并提供合理的解决方案。

四、准备应对劳动仲裁或诉讼

若协商无果，员工可能选择向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼。在此情况下，公司应做好充分准备，包括：

1. 收集并整理相关证据，如劳动合同、工资单、考勤记录、员工表现评估等，以证明公司拒绝签订无固定期限劳动合同的合法性和合理性；
2. 准备答辩材料，针对员工的仲裁请求或诉讼请求进行反驳和辩护；
3. 参加仲裁或诉讼程序，积极陈述公司的立场和理由，维护公司的合法权益。

五、考虑支付赔偿

根据《劳动合同法》的相关规定，若公司违反规定不与员工订立无固定期限劳动合同，自应当订立之日起需向员工每月支付二倍的工资。因此，公司在处理此类纠纷时，应充分考虑这一法律后果，并评估是否愿意承担相应的赔偿责任。若公司认为支付赔偿是更为合理的解决方案，可以与员工进行协商，达成赔偿协议。

六、保持冷静与理性

在整个处理过程中，公司应保持冷静和理性，避免与员工发生不必要的冲突和纠纷。公司应尊重员工的合法权益，同时也要维护自身的合法权益和经营秩序。

综上所述，当公司面临员工要求签订无固定期限劳动合同而公司不愿签订的情况时，公司应确认员工是否符合签订条件、与员工进行友好协商、寻求法律意见、准备应对劳动仲裁或诉讼、考虑支付赔偿，并保持冷静与理性。通过这些措施，公司可以合法、合理地处理此类纠纷，维护自身的合法权益和经营秩序。