结论：私营企业员工未签订劳动合同但在上班期间死亡，是否赔偿及赔偿金额需根据具体情况判断，主要涉及是否构成工伤及赔偿标准问题。以下从不同角度详细分析：
一、是否构成工伤
存在事实劳动关系：
- 即使未签订书面劳动合同，只要员工实际为企业提供了劳动，并接受企业管理，双方即构成事实劳动关系。
- 法律依据：根据《劳动合同法》第七条，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。因此，未签约不影响劳动关系的认定。
死亡是否与工作相关：
- 若员工死亡是由于工作原因（如工作事故、职业病等），则构成工伤。
- 若死亡与工作无关（如突发疾病死亡但非工作时间或非工作原因），则可能不构成工伤，但可能涉及非因工死亡待遇。
二、工伤赔偿标准
构成工伤的情况：
- 赔偿项目：包括丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金。
- 计算公式：
- 丧葬补助金：6个月的统筹地区上年度职工月平均工资。
- 供养亲属抚恤金：按照职工本人工资的一定比例发给由因工死亡职工生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属。标准为：配偶每月40%，其他亲属每人每月30%，孤寡老人或者孤儿每人每月在上述标准的基础上增加10%。核定的各供养亲属的抚恤金之和不应高于因工死亡职工生前的工资。
- 一次性工亡补助金：上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。
- 示例：假设某地区上年度职工月平均工资为8000元，全国城镇居民人均可支配收入为50000元，则一次性工亡补助金为100万元（50000元×20），丧葬补助金为4.8万元（8000元×6）。
非因工死亡的情况：
- 若员工死亡不构成工伤，但属于非因工死亡，企业可能需支付一定的丧葬补助费和供养直系亲属救济费，具体标准因地区而异。
- 法律依据：各地可能有不同的地方性法规或规章规定非因工死亡的待遇标准，需参照当地规定执行。
三、未签订劳动合同的影响
- 双倍工资赔偿：根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。但此条款主要针对劳动关系存续期间的赔偿，与死亡赔偿无直接关联。
- 劳动关系证明：未签订劳动合同可能增加证明劳动关系的难度，但可通过工资支付记录、工作证、考勤记录等证据证明事实劳动关系。
四、建议与行动
- 及时申报工伤：若员工死亡构成工伤，企业应尽快向当地社会保险行政部门申报工伤，以便员工家属及时获得工伤赔偿。
- 协商或诉讼：若企业与员工家属就赔偿问题无法达成一致，可通过协商或诉讼途径解决。
- 完善劳动合同管理：企业应加强劳动合同管理，确保与所有员工签订书面劳动合同，以避免类似纠纷的发生。
总结：私营企业员工未签订劳动合同但在上班期间死亡，是否赔偿及赔偿金额需根据是否构成工伤及当地规定来判断。若构成工伤，企业需按照工伤赔偿标准支付相关费用；若不构成工伤，但属于非因工死亡，企业可能需支付一定的丧葬补助费和供养直系亲属救济费。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。