在私人工厂未签合同的情况下，员工因工死亡，老板需要赔偿的金额主要依据《工伤保险条例》及相关规定来确定，具体赔偿项目和标准如下：
丧葬补助金：
- 计算公式：6个月的统筹地区上年度职工月平均工资。
- 说明：丧葬补助金是用于处理死者丧葬事宜的费用，按照死者所在地区上一年度职工月平均工资的6倍来计算。
供养亲属抚恤金：
- 计算公式：按照职工本人工资的一定比例发给由因工死亡职工生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属。标准为：配偶每月40%，其他亲属每人每月30%，孤寡老人或者孤儿每人每月在上述标准的基础上增加10%。核定的各供养亲属的抚恤金之和不应高于因工死亡职工生前的工资。
- 说明：供养亲属抚恤金是支付给因工死亡职工生前需要供养的亲属的费用，具体比例根据亲属关系和实际情况确定，且总和不得超过职工生前工资。
一次性工亡补助金：
- 计算公式：上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。
- 说明：一次性工亡补助金是给予因工死亡职工家属的一次性经济补偿，其金额与上一年度全国城镇居民人均可支配收入挂钩，并乘以20倍来计算。
关于未签合同的情况：
- 尽管私人工厂未与员工签订劳动合同，但这并不影响员工因工死亡的赔偿权利。根据《工伤保险条例》及相关规定，只要员工与工厂之间存在事实劳动关系，且因工作原因受到事故伤害或患职业病导致死亡，就应当享受工伤保险待遇。
- 如果工厂未依法为员工缴纳工伤保险费，那么所有工伤保险待遇项目和费用将由工厂承担。
额外建议：
- 在处理此类纠纷时，建议家属首先收集能够证明员工与工厂之间存在事实劳动关系的证据，如工资单、工作证、考勤记录等。
- 同时，及时向当地劳动保障行政部门报告事故情况，并申请工伤认定。工伤认定是享受工伤保险待遇的前提条件。
- 如果工厂拒绝承担赔偿责任，家属可以通过劳动争议仲裁或诉讼等法律途径来维护自己的合法权益。
具体赔偿金额示例（以假设数据为例）：
假设上一年度全国城镇居民人均可支配收入为50000元，统筹地区上年度职工月平均工资为8000元，员工生前工资为10000元/月，且有一名配偶和一名子女需要供养。
- 丧葬补助金：6个月 × 8000元/月 = 48000元
- 供养亲属抚恤金：配偶每月4000元（10000元 × 40%），子女每月3000元（10000元 × 30%），合计每月7000元（具体金额可能根据实际情况调整，且总和不得超过10000元）
- 一次性工亡补助金：20倍 × 50000元 = 1000000元
总赔偿金额将包括丧葬补助金、供养亲属抚恤金（按实际发放月份计算）和一次性工亡补助金等部分。具体金额需根据实际情况和当地政策来确定。
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