结论：针对您提出的问题，即“超过60周岁、没签合同、在岗期间办私事死亡，公司承担什么责任”，这主要取决于死亡员工与公司之间的法律关系以及死亡的具体情况。以下是从不同角度进行的详细分析：
法律关系认定：
- 劳动关系与劳务关系：首先，需要明确的是，超过60周岁的员工与公司之间可能构成的是劳务关系而非劳动关系，特别是如果员工已经享受养老保险待遇或领取退休金。在劳务关系中，公司通常不承担工伤保险责任。然而，如果员工虽超过60周岁但未享受养老保险待遇或领取退休金，且继续为公司提供劳动，那么根据相关规定，双方可能仍被视为存在劳动关系，此时公司应承担工伤保险责任。
- 合同签订情况：虽然未签订书面合同，但根据《劳动合同法》的规定，事实劳动关系同样受法律保护。因此，合同签订情况不影响劳动关系的认定，但可能影响公司承担责任的具体形式和程度。
死亡情况分析：
- 在岗期间办私事死亡：如果员工在岗期间因办私事而死亡，且该死亡与工作无直接关联，那么公司通常不承担因工作原因导致的工伤赔偿责任。但是，如果公司存在过错，如未提供安全的工作环境、未进行必要的安全培训等，且该过错与员工死亡之间存在因果关系，那么公司可能需要承担一定的民事赔偿责任。
- 工伤认定：若员工死亡被认定为工伤（尽管在办私事的情况下较为罕见，但并非完全不可能，如因工作原因外出办私事途中发生意外等），则公司应按照《工伤保险条例》的规定承担工伤保险责任，包括支付丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等。
公司可能承担的责任：
- 非工伤情况下的民事赔偿：如果公司存在过错且该过错与员工死亡之间存在因果关系，公司可能需要承担民事赔偿责任，赔偿范围包括但不限于死亡赔偿金、丧葬费、被扶养人生活费等。具体赔偿金额需根据实际情况和法律规定进行计算。
- 工伤情况下的工伤保险责任：如果员工死亡被认定为工伤，公司应按照《工伤保险条例》的规定承担工伤保险责任。计算公式如下（以一次性工亡补助金为例）：
- 一次性工亡补助金 = 上一年度全国城镇居民人均可支配收入 × 20（具体数额需根据最新数据计算，此处仅为示例公式）。
建议与措施：
- 公司应加强管理：公司应加强对员工的管理和培训，确保员工遵守公司规章制度和安全操作规程，减少因员工个人行为导致的意外事件发生。
- 及时处理善后事宜：无论员工死亡是否被认定为工伤，公司都应积极与员工家属沟通协商，妥善处理善后事宜，避免引发不必要的法律纠纷和社会矛盾。
- 咨询专业律师：鉴于此类案件的复杂性和敏感性，建议公司及时咨询专业律师，以便更准确地了解自身权利和义务，制定合理的应对策略。
总结：针对您提出的问题，公司是否承担责任以及承担何种责任，主要取决于员工与公司之间的法律关系、死亡的具体情况以及公司是否存在过错等因素。因此，在处理此类案件时，应综合考虑各种因素，并咨询专业律师以获取更准确的法律意见。如果您有任何进一步的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。