针对您提出的“没有签订劳动合同员工在下班期间死亡怎么赔偿”的问题，这确实是一个涉及劳动法、工伤保险条例等多方面法律规定的复杂情况。以下是我为您提供的详细解答：

一、确认劳动关系

首先，尽管未签订书面劳动合同，但根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。因此，您需要收集相关证据来证明员工与用人单位之间存在事实劳动关系。这些证据可以包括工资支付记录、考勤记录、工作证、服务证、同事证言等。例如，银行转账记录显示规律性工资发放，或工牌明确标注公司名称和职位，均可作为有效证据。

二、判断死亡原因与工伤认定

接下来，需要判断员工的死亡原因是否符合工伤认定的条件。根据《工伤保险条例》的规定，上下班途中受到非本人主要责任的交通事故伤害应认定为工伤。这需要满足三个要件：合理时间（如正常通勤时段）、合理路线（常规居住地至工作地点路径）、事故责任划分（交警部门出具的非主责认定书）。

如果员工的死亡符合工伤认定的条件，那么其家属有权要求用人单位按照《工伤保险条例》的规定进行赔偿。赔偿项目包括：

1. 丧葬补助金：6个月的统筹地区上年度职工月平均工资；
2. 供养亲属抚恤金：按职工本人工资的一定比例发给无劳动能力的亲属，配偶每月40%，其他亲属每人每月30%，孤寡老人或孤儿增加10%；
3. 一次性工亡补助金：上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。

三、非因工死亡的赔偿

如果员工的死亡不符合工伤认定的条件，那么可能属于非因工死亡。在非因工死亡情形下，赔偿项目和标准通常由各省、自治区、直辖市自行规定。可能包括：

1. 丧葬补助费：一定月数的当地上年度职工月平均工资或固定金额；
2. 一次性抚恤金：按职工本人工资的一定倍数或固定金额发放；
3. 遗属生活困难补助：对依靠死亡职工生前提供主要生活来源的遗属给予生活困难补助。

四、未签劳动合同的额外责任

此外，由于用人单位未与员工签订书面劳动合同，根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，员工的家属还有权要求用人单位支付这段期间的双倍工资。

五、处理流程与建议

1. 收集证据：尽快收集能够证明事实劳动关系的证据，如工资支付记录、考勤记录等。
2. 申请工伤认定：如果符合工伤认定的条件，及时向当地社会保险行政部门申请工伤认定。
3. 协商赔偿或申请仲裁：与用人单位协商赔偿事宜，协商不成时可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
4. 咨询专业律师：由于此类案件涉及复杂的法律问题，建议尽快咨询专业律师或法律机构以获取准确法律意见和帮助。

综上所述，没有签订劳动合同的员工在下班期间死亡，其赔偿事宜需根据具体情况确定，可能涉及双倍工资、工伤赔偿或非因工死亡赔偿。希望以上解答能够对您有所帮助。