结论：员工在面对公司拒绝补签无固定期限合同且不承认劳务派遣工龄的情况时，在一定条件下可以被迫离职并主张相关权益，但具体需结合实际情况和法律规定来判断。以下从不同角度详细分析：
一、关于公司拒绝补签无固定期限合同
法律规定：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，当劳动者在用人单位连续工作满十年，或者连续订立二次固定期限劳动合同且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
员工权益：
- 如果员工符合签订无固定期限劳动合同的条件，而公司拒绝补签，这违反了法律规定。员工有权要求公司签订无固定期限劳动合同，并可以就此向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
被迫离职的考量：
- 如果公司持续拒绝补签，且员工因此遭受了不公平的待遇（如工资降低、职位变动等），员工可以考虑被迫离职，并主张因公司违法行为导致的经济补偿。但需注意，被迫离职需有充分的证据证明公司的违法行为，且离职前应尽可能通过书面形式向公司表达诉求并保留证据。
二、关于公司不承认劳务派遣工龄
法律规定：
- 劳务派遣工龄的计算通常与实际用工单位的工作年限相关联。如果员工被劳务派遣至某公司工作，且在该期间内与劳务派遣公司签订了劳动合同，那么这段工作年限应计入员工的总工龄中。
- 根据《劳动合同法》及相关规定，劳务派遣单位应当与被派遣劳动者订立二年以上的固定期限劳动合同，按月支付劳动报酬；被派遣劳动者在无工作期间，劳务派遣单位应当按照所在地人民政府规定的最低工资标准，向其按月支付报酬。同时，被派遣劳动者享有与用工单位的劳动者同工同酬的权利。
员工权益：
- 如果公司不承认员工的劳务派遣工龄，员工有权要求公司提供相关证据来证明其主张。如果公司无法提供充分证据，员工可以通过劳动仲裁或诉讼来维护自己的权益，要求公司确认并计算其劳务派遣工龄。
被迫离职与工龄的关联：
- 工龄的计算通常与员工的经济补偿、年假、社保等权益相关。如果公司不承认员工的劳务派遣工龄，可能导致员工在被迫离职时无法获得应有的经济补偿。因此，员工在被迫离职前应尽可能通过法律途径确认自己的工龄，以确保自己的权益不受损害。
三、综合建议
收集证据：
- 员工应收集与劳务派遣合同、工作年限、工资支付等相关的证据，以证明自己的权益。
与公司协商：
- 在采取法律行动前，员工可以尝试与公司进行协商，寻求和解或达成妥协。
寻求法律援助：
- 如果协商无果，员工可以寻求法律援助或咨询专业律师，了解自己的权益和可行的法律途径。
被迫离职的谨慎考虑：
- 被迫离职应作为最后手段，且需在充分了解法律后果和自身权益的基础上进行。在离职前，员工应尽可能通过书面形式向公司表达诉求并保留证据，以便在后续的法律程序中维护自己的权益。
最后，每个具体案件都有其独特性，员工在面对此类问题时，应根据自己的实际情况和法律规定来综合判断并采取行动。如果你有进一步的法律问题或需要更具体的法律建议，可以直接向我咨询。