核心结论：工作13年未签劳动合同，用人单位需承担违法责任，劳动者可主张双倍工资差额（但需注意时效限制）及经济补偿；同时需重点收集证明劳动关系的证据。以下是具体分析：

一、关于赔偿问题：双倍工资差额与经济补偿的适用条件

1. 双倍工资差额的时效限制
   根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月未签书面合同，需支付11个月双倍工资差额（即除原工资外，额外支付11个月工资）。但需注意：

   • 仲裁时效：从劳动者知道权益受损之日起算1年。若工作13年未签合同，双倍工资请求可能因超过时效（通常从用工满1年起算1年）而无法全部支持，但最后11个月的双倍工资差额仍可能被支持（需结合具体入职时间判断）。
     
   • 例外情形：若用人单位存在故意拖延、欺诈等恶意行为，部分地区法院可能突破时效限制，但需个案分析。

2. 经济补偿的适用情形
   若因用人单位未签合同导致劳动者被迫离职（如以未签合同为由提出解除劳动关系），或用人单位违法解除劳动关系，劳动者可主张经济补偿：

   • 补偿标准：按工作年限计算，每满1年支付1个月工资（13年对应13个月工资）；
     
   • 月工资标准：为解除劳动关系前12个月的平均工资（含奖金、津贴等）。

3. 无固定期限劳动合同的自动成立
   根据《劳动合同法》第14条，工作满10年且未签合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。此时劳动者可要求用人单位补签书面合同，但赔偿仍以双倍工资差额和经济补偿为限。

二、证明劳动关系的证据清单（关键点）

未签合同情况下，需通过其他证据证明劳动关系存在，重点收集以下材料：

1. 工资支付记录

   • 银行流水（显示用人单位账户转账）、工资条、微信/支付宝转账记录（备注“工资”）；
     
   • 若现金支付，需证人证言或录音证明（如与财务或主管的对话）。

2. 工作证明文件

   • 工作证、工牌、门禁卡、考勤记录（指纹打卡记录、钉钉/企业微信打卡截图）；
     
   • 入职通知书、调岗通知、晋升文件等用人单位内部文件。

3. 社保与个税记录

   • 社保缴纳记录（显示用人单位名称）、个人所得税申报记录（可通过“个人所得税”APP查询）。

4. 工作成果与沟通记录

   • 邮件、微信聊天记录（显示工作内容、汇报对象为用人单位人员）；
     
   • 业务合同、项目文件、客户沟通记录（证明实际参与用人单位业务）；
     
   • 工作服、工具、办公场所照片或视频。

5. 证人证言

   • 同事、客户或合作伙伴的书面证言（需附证人身份证复印件及联系方式）。

三、行动建议

1. 优先协商：与用人单位沟通补签合同并协商赔偿，保留书面沟通记录（如邮件、微信）；
   
2. 申请劳动仲裁：若协商无果，向用人单位所在地劳动仲裁委提交仲裁申请（需在1年内提出）；
   
3. 证据整理：按时间顺序整理证据，制作证据清单并标注证明目的（如“证明劳动关系存续期间”“证明工资标准”）。

提示：劳动争议案件时效性强，建议尽快行动。若对证据收集或赔偿计算有疑问，可直接向我咨询，我会结合您的具体情况进一步分析。