结论：面对母亲生病住院而公司已无法批准请假的情况，是否辞职需要综合考虑多方面因素，包括家庭经济状况、母亲病情、工作性质及可替代性等，并非一定要辞职。以下是一些具体分析和建议：
一、法律层面分析
劳动法规定：
- 根据《中华人民共和国劳动法》及相关规定，劳动者享有休息休假的权利，包括病假、事假等。但具体请假天数和条件需依据公司规章制度及劳动合同约定。
- 若公司规章制度或劳动合同中未明确规定请假天数上限或请假流程，劳动者在合理范围内提出请假申请，公司应予以批准。若公司无正当理由拒绝，可能构成违法行为。
辞职的法律依据：
- 劳动者有权根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，提前三十日（试用期提前三日）以书面形式通知用人单位解除劳动合同。这是劳动者的法定权利，无需公司同意。
- 但辞职意味着你将失去工作收入，可能对家庭经济状况产生较大影响，因此需谨慎考虑。
二、实际情况分析
家庭经济状况：
- 评估家庭经济状况，包括收入、支出、储蓄等。若辞职后家庭经济将陷入困境，建议优先考虑其他解决方案，如与公司协商调整工作时间、申请远程办公等。
母亲病情：
- 了解母亲的病情及治疗需求。若母亲病情严重，需要长期陪护，且无法找到其他合适的陪护人员，辞职可能是一个选择。但在此之前，可以尝试与公司沟通，看是否能获得更灵活的工作安排。
工作性质及可替代性：
- 评估你的工作性质及可替代性。若你的工作具有较高的专业性和不可替代性，辞职可能对公司造成较大影响，同时也可能影响你未来的职业发展。在此情况下，建议与公司协商，寻求双方都能接受的解决方案。
三、建议与措施
与公司协商：
- 首先尝试与公司沟通，说明母亲病情及你的陪护需求，看是否能获得更灵活的工作安排，如调整工作时间、申请远程办公、带薪休假等。
- 若公司拒绝你的合理请求，你可以考虑向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
寻求社会支持：
- 了解当地的社会救助政策，如医疗救助、护理补贴等，看是否能获得一定的经济支持。
- 考虑聘请护工或寻求其他家庭成员的帮助，以减轻你的陪护压力。
谨慎考虑辞职：
- 若经过上述努力仍无法解决问题，且母亲病情确实需要你长期陪护，再谨慎考虑辞职。在辞职前，务必做好经济规划，确保家庭基本生活不受影响。
最后，面对母亲生病住院而公司已无法批准请假的情况，是否辞职需要综合考虑多方面因素。建议先尝试与公司协商、寻求社会支持等解决方案，若仍无法解决问题再谨慎考虑辞职。如有任何法律疑问或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。