员工外出未请假在外死亡，公司承担的最大责任需视具体情况而定，无法直接给出一个固定的责任比例或金额。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、工伤认定角度
工伤认定条件：
- 根据《工伤保险条例》的相关规定，工伤认定需满足“工作时间”、“工作场所”和“工作原因”三个基本要素。若员工外出未请假，且死亡原因与工作无直接关联（如非因工作原因遭遇交通事故、突发疾病等），则通常难以认定为工伤。
非工伤情形下的责任：
- 若员工死亡不被认定为工伤，公司一般无需承担工伤保险责任。但公司仍需根据内部规章制度和劳动合同约定，处理与员工死亡相关的后续事宜，如协助家属办理丧葬事宜等。
二、公司管理责任角度
公司规章制度：
- 公司应制定完善的规章制度，明确员工请假、外出等管理流程。若员工未按规定请假外出，公司有权根据规章制度进行相应处理（如扣发工资、警告等）。但公司规章制度不得违反法律法规的强制性规定，且需经过民主程序制定并公示。
公司管理过失：
- 若公司存在管理过失（如未提供必要的安全保障措施、未及时提醒员工注意安全等），且该过失与员工死亡之间存在因果关系，公司可能需承担一定的民事赔偿责任。但具体责任比例需根据过错程度、因果关系等因素综合判断。
三、特殊情况下的责任承担
员工因公外出：
- 若员工虽未请假，但实际上是因公外出（如临时处理工作事务、参加公司活动等），且死亡原因与工作有关，则可能被认定为工伤。此时，公司需承担工伤保险责任，包括支付丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等。
公司未尽到安全保障义务：
- 若员工外出期间，公司未尽到必要的安全保障义务（如未提供安全的交通工具、未告知潜在危险等），且该义务的违反与员工死亡之间存在因果关系，公司可能需承担相应的民事赔偿责任。
四、法律建议
及时调查：
- 公司应尽快调查员工死亡的具体原因和经过，收集相关证据材料，以便准确判断责任归属。
协商处理：
- 在明确责任后，公司应与员工家属进行协商，就赔偿事宜达成一致意见。协商过程中，公司应保持诚恳态度，积极履行社会责任。
法律途径：
- 若协商无果，公司或员工家属可通过法律途径解决争议。此时，建议寻求专业律师的帮助，以便更好地维护自身权益。
总结来说，员工外出未请假在外死亡，公司承担的责任需根据具体情况判断。若死亡不被认定为工伤且公司无管理过失，则公司一般无需承担责任；若死亡被认定为工伤或公司存在管理过失，则公司需承担相应的工伤保险责任或民事赔偿责任。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。