市级卫健局主任不可以随便开除一个合同工。以下从多个角度为你详细分析：
法律角度
- 合同关系：合同工与市级卫健局之间存在劳动合同关系，这种关系受到《中华人民共和国劳动合同法》的保护。根据该法规定，用人单位解除劳动合同必须遵循法定条件和程序，不能随意解除。例如，用人单位只有在劳动者存在严重违反规章制度、严重失职造成重大损害、被依法追究刑事责任等法定情形时，才可以解除劳动合同，并且需要提前通知劳动者或者支付经济补偿金。
- 程序要求：即使合同工存在可以解除劳动合同的情形，市级卫健局主任也不能直接开除，而需要按照法定程序进行。这通常包括调查核实事实、听取劳动者陈述和申辩、通知工会（如有）、作出解除决定并送达劳动者等步骤。如果程序不合法，解除行为可能被认定为违法解除，用人单位需要承担相应的法律责任。
行政角度
- 内部管理规定：市级卫健局作为行政机关，其内部管理也受到相关行政法规和规章的约束。在开除合同工时，除了遵守劳动合同法的规定外，还需要遵守本单位的内部管理规定，如人事管理制度、员工奖惩制度等。这些规定通常会对开除员工的条件、程序等作出具体规定。
- 行政监督：市级卫健局的开除行为还可能受到上级行政机关或相关部门的监督。如果开除行为违反了法律法规或内部管理规定，上级行政机关或相关部门有权进行纠正，并对相关责任人进行问责。
实际后果角度
- 经济赔偿：如果市级卫健局主任随便开除合同工，且该行为被认定为违法解除，那么用人单位需要向劳动者支付经济赔偿金。经济赔偿金的计算标准通常为劳动者在本单位工作的年限乘以月工资的两倍（具体标准可能因地区和政策而异）。
- 声誉损害：违法解除劳动合同的行为还可能对市级卫健局的声誉造成损害。这可能导致公众对卫健局的信任度下降，进而影响其正常工作和形象。
建议：
- 对于合同工而言，如果遭遇不公正的开除行为，可以依法向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。
- 对于市级卫健局主任而言，应当严格遵守法律法规和内部管理规定，在解除劳动合同时遵循法定条件和程序，避免引发不必要的法律纠纷和声誉损害。
如果你有进一步的法律问题或需要更详细的法律建议，可以直接向我咨询，我会尽我所能为你提供帮助。