在看守所关押期间突发疾病经送三甲医院抢救无效死亡，看守所是否予以国家赔偿，需分情况讨论：

1. 看守所已尽到合理注意和救助义务

   • 如果看守所在关押期间，对在押人员进行了定期的健康检查，及时发现并处理了其健康问题，且在突发疾病时，迅速采取了合理的救助措施，如及时送医、联系家属等，并尽到了必要的监护责任，那么看守所通常不需要承担国家赔偿责任。因为在此情况下，看守所已经履行了其应尽的职责，死亡结果并非由看守所的过错或违法行为导致。

2. 看守所未尽到合理注意和救助义务

   • 如果看守所在关押期间，未对在押人员进行必要的健康检查，或者对在押人员的健康问题未给予足够的重视，未及时发现并处理其健康隐患，且在突发疾病时，未及时采取救助措施，如延误送医、未联系家属等，导致在押人员因抢救无效而死亡，那么看守所可能需要承担国家赔偿责任。因为在此情况下，看守所的过错或违法行为与在押人员的死亡结果之间存在因果关系。

法律背景与依据：

• 根据《中华人民共和国国家赔偿法》的相关规定，国家机关和国家机关工作人员行使职权，有本法规定的侵犯公民、法人和其他组织合法权益的情形，造成损害的，受害人有依照本法取得国家赔偿的权利。在看守所关押期间，如果看守所工作人员未尽到合理的注意和救助义务，导致在押人员死亡，那么看守所作为国家机关，可能需要承担国家赔偿责任。

建议与后续行动：

• 如果家属认为看守所存在过错或违法行为，导致在押人员死亡，可以首先与看守所进行协商，要求其给出合理的解释和赔偿方案。
• 如果协商无果，家属可以向当地的人民检察院提出申诉，要求人民检察院对看守所的行为进行调查和监督。
• 同时，家属也可以咨询专业律师，了解具体的法律程序和赔偿标准，以便更好地维护自己的合法权益。

可能面临的法律后果：

• 如果看守所被认定存在过错或违法行为，可能需要承担国家赔偿责任，包括赔偿死亡赔偿金、丧葬费等费用。
• 如果看守所工作人员被认定存在玩忽职守等违法行为，还可能面临刑事责任的追究。

在处理此类案件时，建议家属保持冷静，及时收集相关证据，如医疗记录、监控录像等，以便在后续的法律程序中更好地维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。