结论：合同第9年能否申请续签无固定期限合同，需结合合同类型、法律规定及双方协商情况综合判断，以下分情况说明：

1. 劳动合同场景
   根据《劳动合同法》第14条，劳动者在用人单位连续工作满10年，或连续订立两次固定期限合同后续签的，可要求签订无固定期限合同。

   • 若为第9年且未满足10年条件：若此前未签订过两次固定期限合同，或累计工作年限未达10年，劳动者无权单方要求续签无固定期限合同，但可与用人单位协商；
     
   • 若第9年已满足10年条件（如从入职起算）：劳动者有权提出签订无固定期限合同，用人单位若拒绝可能构成违法终止，需支付赔偿金（2N）。
     提示：需注意“连续工作”是否包含中断情形（如离职后重新入职），部分地区司法实践可能认定中断后重新计算年限。

2. 民事合同场景（如租赁、服务合同等）
   无固定期限合同的签订需双方自愿，法律无强制续签规定。

   • 若原合同未约定续签条件：任何一方均无强制续签义务，但可协商变更合同期限；
     
   • 若原合同约定“自动续签”或“优先续签权”：需按约定履行，但条款效力需审查（如显失公平可能被撤销）。
     提示：民事合同中，单方要求续签无固定期限合同通常缺乏法律依据，需以协商为主。

3. 特殊合同类型

   • 劳务派遣合同：根据《劳务派遣暂行规定》，劳务派遣单位不得以非全日制用工形式招用被派遣劳动者，但未强制要求签订无固定期限合同，续签规则参照普通劳动合同；
     
   • 以完成一定任务为期限的合同：任务完成后合同终止，不存在续签问题。

行动建议：

1. 明确合同类型及已履行年限，核对是否符合法定续签条件；
   
2. 收集合同文本、工资记录、工作年限证明等证据；
   
3. 与用人单位协商，若协商不成可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁（劳动合同场景）；
   
4. 民事合同纠纷可直接向法院起诉，主张继续履行或赔偿损失。
   

如有进一步细节（如合同条款、工作年限证据等），可随时补充说明，我会为您细化分析。