结论：国企员工在民企打工，因质量问题被开除，是否能向民企申请经济补偿金，需根据具体情况判断，主要看开除是否合法以及是否符合经济补偿金的支付条件。以下从不同角度进行分析：
一、开除的合法性
若开除合法：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，如果员工因严重违反用人单位的规章制度（如质量问题达到严重程度，且规章制度中有明确规定），用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿金。
- 在此情况下，由于开除是合法的，员工无法向民企申请经济补偿金。
若开除不合法：
- 如果民企无法证明员工因质量问题达到严重违反规章制度的地步，或者规章制度本身不合法、不合理，那么开除可能被视为违法解除劳动合同。
- 根据《劳动合同法》第四十八条和第八十七条，员工有权要求民企继续履行劳动合同或者支付赔偿金（赔偿金为经济补偿金的两倍）。在此情况下，员工不仅可以主张经济补偿金（若选择不继续履行合同），还可以主张更高的赔偿金。
二、经济补偿金的支付条件
经济补偿金的定义：
- 经济补偿金是用人单位在解除或终止劳动合同时，依法向劳动者支付的一次性补偿。
支付条件：
- 根据《劳动合同法》第四十六条，用人单位在特定情形下（如协商解除劳动合同、用人单位提出非过失性辞退、经济性裁员等）需要向劳动者支付经济补偿金。
- 如果员工因质量问题被开除，但开除行为被认定为违法，且员工选择不继续履行劳动合同，那么员工有权要求民企支付经济补偿金（或赔偿金）。
- 如果开除行为合法，但员工符合其他经济补偿金的支付条件（如合同到期不续签等，尽管此情况与质量问题开除不直接相关），员工也可能获得经济补偿金。不过，在因质量问题被开除的合法情形下，这一条件通常不适用。
三、实际操作建议
收集证据：
- 员工应收集与质量问题相关的证据，以及民企开除决定的依据和程序证据，以判断开除是否合法。
咨询专业意见：
- 由于劳动纠纷涉及复杂的法律条款和程序，建议员工在采取行动前咨询专业律师（即向我咨询），以了解自身权益和可能的法律后果。
协商或仲裁：
- 如果员工认为开除不合法或应获得经济补偿金，可以尝试与民企协商解决。如果协商无果，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
示例说明：假设员工因一次轻微的质量问题被民企开除，且民企无法证明该问题达到严重违反规章制度的地步。在此情况下，开除可能被视为违法，员工有权要求民企支付赔偿金（经济补偿金的两倍）。如果员工选择不继续履行劳动合同，并主张经济补偿金，那么民企应根据员工的工作年限和工资水平支付相应的经济补偿金。
后续行动建议：如果您面临类似情况，建议先收集相关证据，并尽快向我咨询，以便更准确地评估您的权益和可能的法律后果。