结论前置：非国企单位私自开除员工，员工能否拿到补偿，需根据开除的具体原因和情形来判断。以下分情况详细说明：

1. 合法解除劳动合同的情形：

   • 如果非国企单位因员工存在严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害、同时与其他用人单位建立劳动关系对完成本单位的工作任务造成严重影响且拒不改正、或者被依法追究刑事责任等情形，而依法解除与员工的劳动合同，那么这种情况下，员工通常无法获得经济补偿。因为这些情形属于员工自身过错导致的劳动合同解除，法律上不支持员工因此获得补偿。

2. 违法解除劳动合同的情形：

   • 如果非国企单位在没有合法依据的情况下，私自开除员工，即违法解除劳动合同，那么员工有权要求单位支付经济补偿。根据《劳动合同法》的相关规定，经济补偿的标准通常按照员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
   • 举例来说，如果员工在某非国企单位工作了3年，月工资为5000元，那么如果单位违法解除劳动合同，员工有权要求单位支付3个月工资，即15000元作为经济补偿。

3. 特殊情形下的经济补偿：

   • 除了上述两种情形外，还有一些特殊情形下员工也可能获得经济补偿。比如，如果单位与员工协商一致解除劳动合同，且是由单位提出解除的，那么员工也有权获得经济补偿。另外，如果单位因经营困难需要裁员，且符合法律规定的裁员条件，那么被裁员的员工也有权获得经济补偿。

法律建议：

• 如果您是非国企单位的员工，且被单位私自开除，建议您首先了解单位开除您的具体原因和依据。如果认为单位的行为违法或不合理，您可以与单位进行协商，要求单位支付经济补偿。
• 如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求单位支付违法解除劳动合同的经济补偿。在申请劳动仲裁时，您需要提供相关证据证明单位的行为违法或不合理，以及您因此遭受的损失。

可能法律后果：

• 如果单位违法解除劳动合同且拒不支付经济补偿，那么除了可能面临劳动仲裁的裁决外，还可能面临劳动行政部门的处罚，如罚款等。同时，单位的违法行为也可能对其声誉和信誉造成负面影响。

总之，非国企单位私自开除员工时，员工能否拿到补偿需根据具体情况来判断。如果您有相关疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。