私营工厂开除员工是否需要赔偿，主要取决于开除的具体原因和法律依据。以下是对此问题的详细分析：
无需支付赔偿或补偿的情况
- 员工存在严重过错：若员工在试用期内被证明不符合录用条件，如技能或工作经验不达标；或严重违反工厂规章制度，如多次在工作场所吸烟且屡教不改；或严重失职、营私舞弊，给工厂造成重大损害，如丢失重要原材料；或被依法追究刑事责任，如因犯罪行为被判处刑罚；或同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成工厂的工作任务造成严重影响，且经工厂提出后拒不改正；或因法定情形致使劳动合同无效，工厂开除员工则无需支付赔偿或补偿。
- 员工主动提出辞职：若员工基于个人原因，如职业规划或家庭因素，主动提出辞职，且工厂无违法违规行为，工厂也无需支付赔偿或补偿。
需要支付经济补偿的情况
- 协商一致解除劳动合同：若工厂因生产经营状况变化需调整规模，与员工协商后解除劳动合同，工厂需按工作年限支付经济补偿。
- 劳动者无过错性辞退：若员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作；或不能胜任工作，经过培训或调整岗位仍不能胜任；或劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，无法履行且协商未果，工厂也需支付经济补偿。
- 经济性裁员：若工厂因经济性原因需裁员，同样需按工作年限支付经济补偿。
经济补偿标准：
- 按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。
- 六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
需要支付赔偿金的情况
- 违法解除劳动合同：若工厂无正当理由突然辞退员工，属违法解除，需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
赔偿金支付时间：
- 工厂需在员工办结工作交接时支付赔偿金。
- 逾期未支付，员工可向劳动行政部门举报，责令工厂限期支付。
举例说明：
- 假设员工A在私营工厂工作了3年，因严重违反工厂规章制度被开除，且工厂有明确的规章制度和证据证明员工A的违规行为，那么工厂无需支付赔偿或补偿。
- 假设员工B在私营工厂工作了5年，因工厂经济性原因被裁员，那么工厂需按工作年限支付5个月工资的经济补偿。
- 假设员工C在私营工厂工作了2年，被工厂无正当理由突然辞退，那么工厂需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金，即4个月工资的赔偿金。
综上所述，私营工厂开除员工是否需要赔偿或补偿，应依据具体情形和法律规定来判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。