用人单位若私自开除员工，即违法解除劳动合同，通常需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金，并可能额外支付一个月的代通知金（如未提前一个月通知）。下面我将从多个角度详细分析这一问题：
一、赔偿金的计算与支付
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反法律规定解除或终止劳动合同的，应依照该法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
经济补偿的计算：
- 经济补偿的计算依据劳动者在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 计算公式：\(经济补偿 = 工作年限 \times 月工资\)（其中，工作年限按上述规则计算，月工资为劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资）。
- 赔偿金计算：\(赔偿金 = 经济补偿 \times 2\)。
月工资的确定：
- 月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资，包含计时工资、计件工资、奖金、津贴和补贴等货币性收入。
- 若平均工资低于当地最低工资标准，则按最低工资标准计算；若工作不满12个月，按实际工作的月数计算平均工资。
特殊情况的补偿限制：
- 若劳动者月工资高于所在直辖市或设区的市级人民政府公布的上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿按月平均工资三倍的数额支付，且补偿年限最高不超过十二年。
二、代通知金的支付
- 如用人单位未提前一个月通知劳动者解除劳动合同，还需额外支付一个月的工资作为代通知金。
三、不需要支付赔偿金的情况
虽然用人单位私自开除员工通常需要支付赔偿金，但也存在一些例外情况，如：
协商一致解除劳动合同：
- 如果用人单位与劳动者协商一致解除劳动合同，且双方对经济补偿等事项达成一致意见，则用人单位无需承担额外的赔偿责任。
劳动者存在过错：
- 如果劳动者严重违反用人单位的规章制度，严重失职给用人单位造成重大损害，同时与其他用人单位建立劳动关系对完成本单位的工作任务造成严重影响且拒不改正，或以欺诈、胁迫的手段使用人单位在违背真实意思的情况下订立劳动合同等情形，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付赔偿金。
无过失性辞退并支付经济补偿：
- 如果劳动者患病或非因工负伤在规定的医疗期满后不能从事原工作也不能从事由用人单位另行安排的工作，不能胜任工作经过培训或调整工作岗位仍不能胜任工作，或劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化致使劳动合同无法履行且未能就变更劳动合同内容达成协议等情形，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后可以解除劳动合同，但需支付经济补偿而非赔偿金。
四、维权途径
- 劳动者遭遇违法解除劳动合同时，可首先与用人单位协商赔偿事宜。
- 协商不成时，可向劳动监察部门投诉，或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 对仲裁结果不服的，有权向人民法院提起诉讼。
总结：用人单位私自开除员工是违法行为，通常需承担相应的法律责任，包括支付赔偿金和可能的代通知金。但具体是否需要支付以及支付多少，还需根据劳动者的实际情况和用人单位的解除理由来判断。劳动者应了解自身权益，通过合法途径维护自身利益。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。