结论：公司违法开除员工且未支付赔偿金时，员工不仅可以要求经济补偿，还可以就失业期间的经济损失提出主张。以下从法律背景、经济补偿的计算、失业经济损失的主张及操作建议几个方面进行详细说明。

一、法律背景

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位违法解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。这意味着，如果公司违法开除你，你有权要求公司支付双倍的经济补偿作为赔偿金。

同时，对于因公司违法开除导致的失业，虽然直接的“失业经济损失”并非法律术语，但你可以理解为因失业而失去的收入来源及可能产生的其他直接经济损失。在劳动仲裁或诉讼中，你可以基于实际情况，主张公司赔偿你因失业而遭受的实际损失，如未领取的工资、奖金、福利待遇等，这部分主张在司法实践中可能会得到支持，具体需结合实际情况和证据来判断。

二、经济补偿的计算

经济补偿的计算通常依据你在公司的工作年限和月工资来确定。具体公式为：

• 经济补偿金 = 工作年限 × 月工资

其中，月工资是指你在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。如果公司违法解除劳动合同，你需要主张的则是双倍的经济补偿金，即：

• 赔偿金 = 2 × 经济补偿金 = 2 × 工作年限 × 月工资

三、失业经济损失的主张

对于失业经济损失的主张，虽然法律没有明确规定具体的赔偿项目和标准，但你可以从以下几个方面进行考虑和主张：

1. 未领取的工资和奖金：如果公司违法开除你时，你还有未领取的工资、奖金等，可以主张公司支付。
2. 福利待遇损失：如公司提供的住房补贴、交通补贴等福利待遇，因失业而失去的，也可以主张赔偿。
3. 求职费用：因失业而产生的求职费用，如简历制作费、面试交通费等，如果合理且必要，也可以考虑主张。
4. 其他直接经济损失：如因失业导致的医疗保险断缴而产生的医疗费用等，如果与失业有直接因果关系，也可以主张赔偿。

在主张这些损失时，你需要提供相应的证据来证明损失的存在和金额，如工资单、奖金发放记录、福利待遇协议、求职费用发票等。

四、操作建议

1. 收集证据：首先，你需要收集公司违法开除你的证据，如开除通知、劳动合同、工资单等。同时，也要收集因失业而遭受的实际损失的证据。
2. 与公司协商：在收集到足够证据后，你可以尝试与公司进行协商，要求公司支付赔偿金和赔偿失业经济损失。如果公司同意，可以签订书面协议并履行。
3. 申请劳动仲裁：如果协商无果，你可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付赔偿金和赔偿失业经济损失。在仲裁过程中，你需要提供充分的证据来支持你的主张。
4. 提起诉讼：如果对劳动仲裁结果不满意，你还可以向法院提起诉讼，要求公司承担相应的法律责任。

总之，公司违法开除员工且未支付赔偿金时，员工有权要求经济补偿和就失业期间的经济损失提出主张。如果你遇到此类情况，建议及时咨询并寻求专业法律帮助，以维护自己的合法权益。