结论：

1. 签订无固定期限合同的同时，一般不能提出未签订合同的补偿，因为无固定期限合同本身就是一种长期稳定的合同形式。
2. 提出此类要求通常不会直接导致被用人单位辞退，但若因此引发争议或影响工作关系，则存在被辞退的风险，不过这需基于合法理由和程序。

详细分析：

一、关于签订无固定期限合同与未签订合同补偿的问题

无固定期限劳动合同，是指没有明确终止时间的劳动合同，它为劳动者提供了相对稳定的就业环境。在签订无固定期限劳动合同时，通常意味着双方已经就长期合作达成了共识，因此，在签订无固定期限合同的同时，一般不能再提出未签订合同的补偿。这是因为，未签订合同的补偿通常适用于那些未签订书面劳动合同或劳动合同到期后未续签的情况，而无固定期限合同本身就是一种长期且稳定的合同形式，不存在未签订或未续签的问题。

二、关于提出此类要求是否会被辞退的问题

1. 合法辞退的情况：

   • 如果劳动者存在严重违反用人单位规章制度、严重失职营私舞弊给用人单位造成重大损害等《劳动合同法》第三十九条规定的过错情形，用人单位有权辞退劳动者且无需支付赔偿，无论是否签订无固定期限合同。
   • 在这种情况下，即使劳动者提出了未签订合同的补偿要求，也不会成为被辞退的直接原因，但可能会加剧双方之间的矛盾，从而间接影响工作关系。

2. 违法辞退的情况：

   • 如果用人单位没有合法的解雇理由，却单方面解除了与劳动者的无固定期限劳动合同，这构成了违法解除。在这种情况下，劳动者不仅可以要求用人单位继续履行劳动合同（若劳动者选择此方式），还可以要求其支付赔偿金。
   • 提出未签订合同的补偿要求，本身并不构成用人单位违法辞退的合法理由。然而，如果因此引发争议，且劳动者在处理争议过程中存在不当行为（如扰乱工作秩序、泄露商业秘密等），则用人单位可能基于这些合法理由进行辞退。

3. 其他情况：

   • 双方协商一致解除劳动合同：在这种情况下，无论是否提出未签订合同的补偿要求，只要双方达成一致，就可以解除劳动合同，且用人单位通常需要支付经济补偿。
   • 经济性裁员：如果用人单位因经营需要而不得不减少人员，并且按照法律规定的程序进行了裁员，那么劳动者虽然可以获得经济补偿，但这并不属于赔偿范畴，而是基于劳动合同解除的经济补偿。在这种情况下，提出未签订合同的补偿要求通常不会影响裁员的决定。

三、建议与总结

• 对于劳动者而言：在签订无固定期限劳动合同时，应明确了解自己的权益和义务，不要盲目提出不合理的补偿要求。如果确实存在未签订书面劳动合同或劳动合同到期后未续签的情况，并因此产生了补偿问题，应及时与用人单位协商解决，或寻求法律援助以维护自己的合法权益。
• 对于用人单位而言：在解除无固定期限劳动合同时，应确保有充足的证据支持其决定，并严格遵循法定程序。如果劳动者提出了不合理的补偿要求，应通过合法途径进行沟通和协商，避免引发不必要的法律纠纷和经济损失。

总之，签订无固定期限合同的同时一般不能提出未签订合同的补偿，且提出此类要求通常不会直接导致被辞退。然而，在处理此类问题时，双方都应保持冷静和理性，通过合法途径进行沟通和协商，以维护自己的合法权益和避免不必要的法律纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。