结论：合同到期公司不续签时，经济补偿金的支付时间并非固定为当时或月底，而是通常会在双方办理离职手续时，由公司一次性支付给劳动者。不过，具体支付时间也可能因公司内部规定或双方协商而有所不同。
详细分析：
经济补偿金的支付条件与标准：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，当劳动合同到期且公司选择不续签时，若公司未维持或提高原有劳动条件导致员工不愿续签，或者公司直接选择不续签，公司需向劳动者支付经济补偿金。
- 经济补偿金的计算标准通常为劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资，按工作年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。若劳动者月工资高于所在地区上年度职工月平均工资三倍，则按三倍数额支付，且最高不超过十二年。
经济补偿金的支付时间：
- 一般情况：经济补偿金通常会在双方办理离职手续时一次性支付给劳动者。这意味着，支付时间并非固定为合同到期当天或月底，而是取决于双方办理离职手续的时间。
- 特殊情况：如果公司内部有特别规定，或者双方在协商过程中就支付时间达成了其他约定，那么经济补偿金的支付时间可能会相应调整。例如，有些公司可能会选择在月底统一发放离职员工的经济补偿金。
实际操作建议：
- 与公司协商：在合同到期前，劳动者可以与公司就经济补偿金的支付时间进行协商，以达成双方都能接受的支付方案。
- 保留证据：无论支付时间如何约定，劳动者都应确保保留好相关证据，如离职证明、经济补偿金支付凭证等，以备不时之需。
- 及时咨询：如果劳动者对经济补偿金的支付时间或金额有疑问，或者公司未能按时支付经济补偿金，劳动者可以及时向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议。
举例说明：
假设劳动者小张在公司工作了3年，劳动合同到期后公司选择不续签。根据法律规定，公司应支付小张3个月工资作为经济补偿金。如果双方在离职手续办理过程中约定经济补偿金在办理完离职手续后一周内支付，那么小张就应在该时间段内收到经济补偿金。如果公司未能按时支付，小张就可以依据相关证据向我咨询，寻求法律帮助。
总结与建议：
合同到期公司不续签时，经济补偿金的支付时间并非固定不变，而是取决于双方办理离职手续的时间以及可能的内部规定或协商结果。因此，劳动者在面临此类情况时，应与公司积极协商，明确支付时间，并保留好相关证据。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。