结论：两个儿子因矛盾不能共同管理父亲的工资卡时，可以向人民法院申请指定监护人代为管理，但一般不能直接向社区申请代为管理。以下从不同角度进行详细分析：
一、向人民法院申请指定监护人
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，无民事行为能力或者限制民事行为能力的成年人，由下列有监护能力的人按顺序担任监护人：（一）配偶；（二）父母、子女；（三）其他近亲属；（四）其他愿意担任监护人的个人或者组织，但是须经被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门同意。若父亲因年老、疾病等原因导致无法独立管理自己的财产，包括工资卡，且两个儿子因矛盾无法共同管理时，可以由其他有监护能力的人（如其他子女、近亲属等）或者相关组织向人民法院申请指定监护人。
申请流程：
- 申请人需向父亲住所地的基层人民法院提出申请，并提交相关证据证明父亲需要监护以及申请人具备监护能力。
- 法院将依法进行审查，并可能组织听证会，听取相关人员的意见。
- 法院最终将作出指定监护人的判决，该判决具有法律效力。
监护人职责：
- 监护人应当按照最有利于被监护人的原则履行监护职责，保护被监护人的人身权利、财产权利以及其他合法权益。
- 监护人除为维护被监护人利益外，不得处分被监护人的财产。因此，监护人可以代为管理父亲的工资卡，但必须确保资金用于父亲的日常生活和医疗等必要支出。
二、向社区申请代为管理
社区角色：
- 社区在居民生活中主要扮演服务、协调和管理的角色，但并不具备法律上的监护人指定权或财产管理权。
- 社区可以在了解情况后，尝试协调两个儿子之间的矛盾，或者提供相关的法律咨询和帮助，但无法直接代为管理父亲的工资卡。
替代方案：
- 如果两个儿子确实无法共同管理父亲的工资卡，且没有其他合适的监护人选，可以考虑通过家庭会议、协商等方式，达成一个共同认可的管理方案。
- 也可以寻求第三方机构（如信托公司、律师事务所等）的帮助，设立专门的账户或信托计划，由专业机构代为管理父亲的财产。
三、其他注意事项
尊重父亲意愿：
- 在申请指定监护人或采取其他管理措施前，应尽可能尊重父亲的意愿和选择。如果父亲仍然具备部分民事行为能力，应与其进行充分沟通，了解其想法和需求。
保护父亲权益：
- 无论采取哪种管理方式，都必须确保父亲的财产安全和合法权益不受侵害。任何管理行为都应以父亲的利益为出发点和落脚点。
寻求专业帮助：
- 如果对相关法律程序或管理方式存在疑问或困惑，建议及时咨询专业律师或相关机构，以获取更详细和准确的法律建议。
总结与建议：两个儿子因矛盾不能共同管理父亲的工资卡时，应优先考虑通过人民法院申请指定监护人代为管理。在此过程中，应尊重父亲的意愿、保护其权益，并寻求专业帮助以确保管理行为的合法性和有效性。如果还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。