研究生签订第三方公司劳动合同后，公司并非可以随意开除，是否可以开除需根据具体情况判断。以下从不同角度为你详细分析：
一、合法解除劳动合同的情形
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在以下情形下可以合法解除劳动合同：
试用期不符合录用条件：如果研究生与第三方公司签订的劳动合同中约定了试用期，且研究生在试用期内被证明不符合录用条件，公司可以解除劳动合同。但公司需要提供充分的证据证明研究生不符合录用条件，否则可能构成违法解除。
严重违反公司规章制度：如果研究生严重违反了第三方公司的规章制度，且该规章制度是合法有效的（即经过民主程序制定、内容合法、已向劳动者公示），公司可以解除劳动合同。同样，公司需要提供充分的证据证明研究生存在严重违反规章制度的行为。
严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害：如果研究生在履行工作职责过程中存在严重失职或营私舞弊行为，且给第三方公司造成了重大损害，公司可以解除劳动合同。公司需要证明研究生的行为与损害结果之间存在因果关系，且损害结果达到了重大程度。
被依法追究刑事责任：如果研究生被依法追究刑事责任，第三方公司可以解除劳动合同。
二、违法解除劳动合同的情形及后果
如果第三方公司无法证明研究生的行为符合上述合法解除劳动合同的情形，而擅自解除劳动合同，则可能构成违法解除。根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，违法解除劳动合同的，公司需要承担以下法律后果：
继续履行劳动合同：如果研究生要求继续履行劳动合同，且劳动合同能够继续履行的，第三方公司应当继续履行。
支付赔偿金：如果研究生不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，第三方公司需要按照经济补偿标准的二倍向研究生支付赔偿金。经济补偿标准根据研究生在公司的工作年限和月工资确定。
三、特殊情况下的解除劳动合同
协商一致解除：如果研究生与第三方公司协商一致，可以解除劳动合同。这种情况下，双方可以就解除劳动合同的条件、经济补偿等事项进行协商，并达成书面协议。
非过失性辞退：在某些特定情况下，如研究生患病或非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作也不能从事由公司另行安排的工作；或者研究生不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位仍不能胜任工作等，第三方公司可以提前三十日以书面形式通知研究生本人或者额外支付研究生一个月工资后解除劳动合同。但这种情况下，公司仍然需要支付经济补偿。
四、建议
了解公司规章制度：研究生在签订劳动合同前，应仔细了解第三方公司的规章制度，确保自己能够遵守并符合公司的要求。
保留证据：在工作中，研究生应保留好与工作相关的证据，如工作记录、邮件往来等，以备不时之需。
及时咨询：如果研究生对公司的解除行为有异议或不确定是否合法，应及时向我咨询，以便维护自己的合法权益。
总之，研究生签订第三方公司劳动合同后，公司并非可以随意开除。是否可以开除需根据具体情况判断，并遵循相关法律法规的规定。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。