结论：工厂是否需要赔钱给员工，取决于开除员工的具体原因和是否符合法律规定。如果工厂违法解除劳动合同，那么需要向员工支付赔偿金；如果工厂是合法解除劳动合同，则可能不需要支付赔偿金。

详细分析：

1. 违法解除劳动合同的情况：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位违法解除劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿的标准是按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
   • 在您描述的情况下，如果员工在工厂上满一个月后签订了劳动合同，第二个月被开除，且工厂无法证明开除是出于合法原因（如员工严重违反规章制度、严重失职等），那么工厂的行为可能构成违法解除劳动合同，需要向员工支付赔偿金。

2. 合法解除劳动合同的情况：

   • 如果工厂能够证明开除员工是出于合法原因，如员工严重违反工厂的规章制度、严重失职给工厂造成重大损害、被依法追究刑事责任等，那么工厂可以合法解除劳动合同，且不需要支付赔偿金。
   • 另外，如果员工在试用期内被证明不符合录用条件，工厂也可以解除劳动合同，且同样不需要支付赔偿金。但需要注意的是，试用期必须在劳动合同中有明确约定，且不得超过法定最长期限（如劳动合同期限三个月以上不满一年的，试用期不得超过一个月；劳动合同期限一年以上不满三年的，试用期不得超过二个月；三年以上固定期限和无固定期限的劳动合同，试用期不得超过六个月）。

建议：

• 如果您认为工厂的开除行为违法，且工厂拒绝支付赔偿金，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求工厂支付赔偿金。
• 在申请劳动仲裁前，建议您收集好相关证据，如劳动合同、工资单、开除通知等，以证明您的权益受到侵害。
• 如果您对劳动仲裁结果不满意，还可以向人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。

后续行动：

• 如果您需要进一步的法律帮助或咨询，可以直接向我提问，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。
• 在处理此类纠纷时，保持冷静和理性非常重要。请尽量通过合法途径维护自己的权益，避免采取过激行为。