结论：合同未公示且员工不干活的情况下，是否可以开除员工，不能一概而论，需根据具体情况判断。
分析如下：
合同未公示的法律后果：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同应当以书面形式订立，并包含必要条款，如工作内容、工作地点、劳动报酬等。虽然法律并未明确规定劳动合同必须公示，但公示劳动合同内容有助于保障员工的知情权，减少劳动纠纷。
- 如果合同未公示，但双方已经实际履行了合同的主要义务（如员工提供了劳动，用人单位支付了工资），且合同内容不违反法律、行政法规的强制性规定，那么该合同仍然可能被认定为有效。然而，合同未公示可能在一定程度上影响员工对合同条款的认知和遵守，但这并不直接构成用人单位可以开除员工的理由。
员工不干活的法律定性：
- 员工不干活可能构成违反劳动合同约定的行为，具体取决于劳动合同中的相关条款以及用人单位的规章制度。如果劳动合同或规章制度中明确规定了员工的工作职责和考勤要求，且员工无正当理由拒绝履行或违反这些规定，那么用人单位有权依据合同或规章制度对员工进行处理。
- 然而，在处理员工不干活的问题时，用人单位应当遵循合法、合理、公正的原则，确保处理措施与员工的违规行为相适应。如果员工不干活是由于用人单位的原因（如未提供必要的工作条件、拖欠工资等）导致的，那么用人单位可能无权直接开除员工。
开除员工的法律条件：
- 根据《劳动合同法》的规定，用人单位在解除劳动合同时应当遵循法定程序和条件。一般来说，只有在员工严重违反用人单位的规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等情况下，用人单位才有权单方面解除劳动合同（即开除员工）。
- 在合同未公示且员工不干活的情况下，如果用人单位想要开除员工，必须证明员工的不干活行为构成了上述法定解除条件之一。否则，用人单位可能面临违法解除劳动合同的法律风险，需要支付赔偿金或继续履行劳动合同。
建议：
- 对于用人单位而言，应当确保劳动合同的合法性和有效性，并尽可能公示合同内容以保障员工的知情权。同时，建立健全的规章制度和考勤管理机制，明确员工的工作职责和考勤要求，以便在员工不干活时能够依据合同和规章制度进行处理。
- 在处理员工不干活的问题时，用人单位应当保持冷静和理性，遵循合法、合理、公正的原则进行调查和处理。如果确实需要开除员工，应当确保符合法定解除条件并遵循法定程序。
- 对于员工而言，如果认为用人单位的处理措施不合理或违法，可以及时向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁以维护自己的合法权益。
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