结论前置：员工不签合同，用人单位并不能直接开除员工。是否可以开除需根据具体情况判断，且用人单位可能面临支付双倍工资、经济补偿或赔偿金等法律后果。以下从多个角度进行详细分析：
一、劳动合同的重要性及法律责任
根据《中华人民共和国劳动合同法》，建立劳动关系应当订立书面劳动合同，这是法律的明确要求。劳动合同是保障用人单位和劳动者双方权益的重要依据。若用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，需向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定强调了劳动合同的必要性，并对不遵守规定的用人单位施加了经济惩罚。
二、合法解除劳动关系的情形
一个月内解除：
- 若用人单位在用工之日起一个月内书面通知劳动者签订劳动合同而劳动者拒绝，用人单位可书面通知终止劳动关系，无需支付经济补偿，但需支付实际工作时间的劳动报酬。例如，小李入职后公司及时通知签合同但小李拒绝，公司在一个月内终止劳动关系，只需支付实际工作时间工资。
因劳动者过错解除：
- 即使未签劳动合同，若劳动者存在严重违反规章制度、失职舞弊等《劳动合同法》第三十九条规定的过错情形，用人单位可解除劳动合同且无需支付经济补偿。例如，小王未签合同期间多次旷工，公司可依据规章制度和法律规定解除劳动关系。
三、违法解除劳动关系的情形及后果
超过一个月未签合同解除：
- 用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未签劳动合同且违法解除劳动关系的，需支付双倍工资差额，并按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。经济补偿按工作年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年按一年计算，不满六个月支付半个月工资的经济补偿。例如，小张入职后公司一直未签合同，后无故开除小张，公司需支付双倍工资差额及违法解除的赔偿金。
无合法理由解除：
- 若劳动者不存在法定过错，用人单位无正当理由解除与未签劳动合同劳动者的劳动关系，构成违法解除，需承担支付赔偿金等法律责任。赔偿金计算方式同上，即按经济补偿标准的二倍支付。
四、用人单位的正确做法及建议
尽快补签合同：
- 用人单位应尽快与劳动者补签劳动合同，以符合法律法规要求，并保障双方合法权益。
完善内部管理：
- 建立完善的劳动合同管理制度，加强劳动者的法治教育和合同管理培训，确保劳动合同的顺利签订和执行。
依法处理争议：
- 若因未签劳动合同而引发争议，劳动者有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼。用人单位应积极应对，依法处理争议，避免不必要的法律风险和经济损失。
总结与建议：员工不签合同，用人单位并不能直接开除员工。是否可以开除需根据具体情况判断，且用人单位可能面临支付双倍工资、经济补偿或赔偿金等法律后果。因此，建议用人单位在遇到此类情况时，首先尝试与劳动者沟通协商，尽快补签劳动合同；若劳动者拒绝签订且存在过错，用人单位可依法解除劳动关系；若劳动者无过错且拒绝签订，用人单位应谨慎处理，避免违法解除劳动关系。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。