关于您提出的“没有签劳动合同试工期可以开除员工吗”这一问题，以下是我的详细解答：
首先，明确未签劳动合同的法律后果：
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，建立劳动关系应当订立书面劳动合同。如果用人单位在用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，那么用人单位需要向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定是为了保护劳动者的权益，确保劳动关系的明确和稳定。
其次，关于试用期的法律规定：
试用期是包含在劳动合同期限内的。如果仅约定了试用期而未签订正式劳动合同，那么试用期在法律上是不被承认的，即视为没有试用期。
在试用期内，用人单位并不能随意解除劳动合同。根据《劳动合同法》的规定，除非劳动者存在严重违反规章制度、失职造成重大损害等过错性情形，或者在试用期内被证明不符合录用条件（且用人单位需要有明确的证据支持这一点），否则用人单位不得解除劳动合同。
接下来，针对您问题的核心部分进行解答：
在未签劳动合同的情况下，用人单位在试工期（即试用期）随意开除员工，很可能构成违法解除。此时，劳动者有权要求继续履行劳动合同，或者主张双倍经济补偿标准的赔偿金（具体计算方式为：每满一年支付两个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资的经济补偿的两倍）。
当然，也存在一些特殊情形：
如果劳动者确实存在《劳动合同法》第三十九条规定的过错性情形，或者在试用期内被明确证明不符合录用条件（且用人单位有充分的证据支持），那么用人单位可以依法解除劳动关系，且无需支付经济补偿金。
最后，给您一些建议：
对于用人单位而言，应及时与劳动者签订书面劳动合同，以避免法律风险和经济损失。同时，要规范试用期管理，明确录用条件和考核标准，并保留相关证据以支持解除决定的合法性。
对于劳动者而言，如果遇到非法辞退的情况，可以通过协商、投诉或仲裁等途径来维护自己的合法权益。
综上所述，没有签劳动合同试工期并不能随意开除员工。用人单位在解除劳动关系时，必须遵守相关法律法规的规定，确保解除行为的合法性和合理性。