结论：厂里以员工家中亲人生病不能自理、请假后没有续假为由辞退员工，这一行为很可能是违法的。
分析如下：
关于请假与续假：
- 员工因家中亲人生病不能自理而请假，这是基于合理的家庭原因。在请假期间，如果员工因特殊情况（如病情突然加重、需要紧急处理等）未能及时续假，这并不意味着员工有故意违反公司规章制度的行为。
- 公司应当建立合理的请假和续假制度，并在员工请假时明确告知相关流程和要求。如果员工因特殊情况未能及时续假，公司应当给予一定的宽限期或要求员工提供合理的解释和证明，而不是直接辞退。
关于辞退的合法性：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同应当有合法的理由，并且需要遵循法定的程序。如果员工没有严重违反公司规章制度或存在其他法定解除劳动合同的情形，公司不得随意辞退员工。
- 在本案例中，员工因家庭原因请假且未能及时续假，并不构成严重违反公司规章制度的行为。因此，公司以此为由辞退员工，很可能缺乏合法的依据。
可能的法律后果：
- 如果公司违法辞退员工，员工有权要求公司继续履行劳动合同或者支付赔偿金。赔偿金的计算通常依据员工在公司的工作年限、工资水平等因素确定。
- 此外，员工还可以向当地劳动监察部门投诉，要求对公司进行查处，并维护自己的合法权益。
建议：
- 对于员工而言，如果遭遇此类情况，应当及时收集相关证据（如请假条、医院证明、与公司的沟通记录等），以证明自己请假的合理性和未能及时续假的特殊情况。
- 同时，员工可以与公司进行协商，要求公司撤销辞退决定并继续履行劳动合同。如果协商无果，员工可以向当地劳动仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。
- 对于公司而言，应当建立完善的请假和续假制度，并加强对员工的培训和指导，确保员工了解相关流程和要求。在处理员工请假和续假问题时，公司应当保持公正和合理，避免因为处理不当而引发劳动纠纷。
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