结论前置：单位不给员工签劳动合同，员工当然可以告公司，并且根据法律规定，员工还有权要求公司支付相应的赔偿。

详细解释与法律依据：

1. 法律义务与责任：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并且应当订立书面劳动合同。这是用人单位的法定义务，必须履行。
   • 如果用人单位未与劳动者签订书面劳动合同，那么根据法律规定，用人单位需要承担相应的法律责任。

2. 员工的权利：

   • 员工有权要求用人单位签订书面劳动合同，以保障自己的合法权益。
   • 如果用人单位拒绝签订，员工可以向劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁，要求用人单位支付未签订劳动合同期间的双倍工资作为赔偿。

3. 赔偿的计算与依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 计算公式：赔偿金额 = 未签订劳动合同期间的月工资 × 未签订劳动合同的月数（但最多不超过11个月，因为从用工之日起满一年未签订书面劳动合同的，视为已订立无固定期限劳动合同）。
   • 例如，如果员工月工资为5000元，未签订劳动合同的期间为6个月，那么员工有权要求公司支付30000元（5000元/月 × 6月）作为赔偿。

4. 实际操作建议：

   • 员工在发现单位未签订劳动合同时，应首先与单位进行沟通，要求签订书面劳动合同。
   • 如果单位拒绝或拖延，员工可以收集相关证据（如工资条、工作证、考勤记录等），以证明自己与单位之间存在劳动关系。
   • 然后，员工可以向当地的劳动监察部门投诉，或者向劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求单位支付赔偿。

后续行动与注意事项：

• 在申请劳动仲裁或提起诉讼前，员工应确保自己已经收集了足够的证据来证明与单位之间的劳动关系以及单位未签订劳动合同的事实。
• 员工在维权过程中应保持冷静和理性，遵循法律程序，不要采取过激行为。
• 如果员工对法律程序不熟悉或担心自己的权益得不到保障，可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到有效维护。

作为路焕喜律师，我专注于经济纠纷和劳动纠纷领域，如果你有任何相关问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。