公司没有签订劳动合同就开除员工，员工是可以告公司的。下面我将从法律角度为您详细解释这一结论，并提供相应的法律建议。

法律解释

1. 公司未签订劳动合同的法律责任：

   • 根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果公司未与员工签订劳动合同，员工有权要求公司支付双倍工资差额。

2. 公司无理由辞退员工的法律责任：

   • 如果公司无正当理由辞退员工，属于违法解除劳动关系。员工可以要求公司继续履行劳动合同，或者要求公司支付相当于双倍经济补偿的赔偿金。赔偿金计算方式为：按员工在本单位工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。

法律建议

1. 收集证据：

   • 员工应尽快收集能证明劳动关系的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录等。这些证据在后续维权过程中至关重要。

2. 与公司协商：

   • 在采取法律手段之前，员工可以尝试与公司进行协商，看是否能达成和解。协商过程中，员工可以明确提出自己的诉求，如要求公司支付双倍工资差额、赔偿金等。

3. 申请劳动仲裁：

   • 如果协商无果，员工可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁是劳动纠纷处理的前置程序，员工需提交相关证据材料，并阐述自己的诉求和理由。

4. 提起诉讼：

   • 如果对仲裁结果不服，员工可以在规定时间内向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，员工需要继续提供充分的证据来支持自己的主张。

注意事项

• 仲裁时效：劳动争议申请仲裁的时效为一年，从当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，员工应尽快采取行动来维护自己的权益。
• 法律程序：员工在维权过程中应遵守法律程序，不得采取过激行为或违法行为。否则，可能会影响自己的合法权益和维权效果。

综上所述，公司未签订劳动合同就开除员工是违法的，员工有权告公司并要求相应的赔偿。在维权过程中，员工应收集证据、与公司协商、申请劳动仲裁并提起诉讼（如需）。希望这些建议能对您有所帮助。