结论：员工入职半年公司不签劳动合同，员工不仅可以提出离职，而且有权要求公司支付未签劳动合同的双倍工资差额，并可能获得经济补偿金。

详细分析：

1. 员工有权提出离职：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，建立劳动关系应当订立书面劳动合同。公司未在员工入职后一个月内与其签订书面劳动合同，已经违反了法律规定。
   • 在此情况下，员工有权提出离职，并且这种离职是基于公司违法行为而产生的合理反应。

2. 员工有权要求双倍工资差额：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
   • 计算公式：双倍工资差额 = 月工资 × (未签合同月数 - 1)（因为第一个月不计算双倍工资）。
   • 实例说明：若员工月工资为5000元，入职半年（6个月）未签合同，则双倍工资差额为5000元 × (6 - 1) = 25000元。

3. 员工可能获得经济补偿金：

   • 如果员工因公司未签劳动合同而提出离职，并且符合《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条规定的情形（如用人单位未按照劳动合同约定提供劳动保护或者劳动条件、未及时足额支付劳动报酬等，虽然未签合同本身不直接等同于这些情形，但若因此导致员工离职，可视为公司存在过错），员工有权要求公司支付经济补偿金。
   • 在此案例中，更直接的是，由于公司未签劳动合同，员工提出离职可视为公司存在违法行为导致劳动合同解除，员工有权依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定（虽未直接规定此情形下的经济补偿，但可参照类似情形如公司违法解除劳动合同的赔偿金规定，不过此处更侧重于双倍工资差额的补偿，经济补偿金需视具体离职原因及是否符合第四十六条情形而定）主张权益，实践中，因未签合同离职，员工主要主张的是双倍工资差额，经济补偿金需结合具体离职原因判断。但为全面解答，若假设员工因公司未签合同且未提供应有劳动条件等综合原因离职，且符合第四十六条，则：
   • 经济补偿金计算公式：经济补偿金 = 月工资 × 在职月数（若不满六个月，则支付半个月工资的经济补偿）。
   • 实例说明：若员工月工资为5000元，入职半年（6个月）未签合同且因公司综合过错离职，则经济补偿金为5000元 × 0.5（因为不满六个月）= 2500元（但此例中主要权益为双倍工资差额25000元）。

建议行动：

• 员工应首先与公司沟通，要求签订书面劳动合同，并支付未签合同期间的双倍工资差额。
• 如果公司拒绝，员工可以向当地劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
• 在申请劳动仲裁时，员工应提供相关证据，如工资条、工作证、考勤记录等，以证明自己与公司存在劳动关系，以及公司未签劳动合同的事实。

后续思考：

• 员工在离职前应尽可能收集并保存好与公司的劳动关系证明，以便在后续的法律程序中维护自己的权益。
• 公司也应意识到未签劳动合同的法律风险，及时与员工签订书面劳动合同，以避免不必要的法律纠纷和经济损失。

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